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15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC． （1）求证：∠1=∠2； （2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由． 考点： 菱形的判定；线段垂直平分线的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论； （2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可． 解答： （1）证明：∵在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠1=∠2； （2）四边形BCDE是菱形； 证明：∵∠1=∠2， ∴AC垂直平分BD， ∵OE=OC， ∴四边形DEBC是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形DEBC是菱形． 点评： 本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大． 16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形． 考点： 菱形的判定；翻折变换（折叠问题）． 专题： 证明题． 分析： 由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF． 解答： 证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD 又∵EF⊥AD， ∴∠AOE=∠AOF=90° ∵在△AEO和△AFO中 ， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴EO=FO 又∵A点与D点重合， ∴AO=DO， ∴EF、AD相互平分， ∴四边形AEDF是平行四边形 又EF⊥AD， ∴平行四边形AEDF为菱形． 点评： 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形． 考点： 菱形的判定． 专题： 证明题． 分析： 首先证明∠B=∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM≌△ADN可得AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论． 解答： 证明：∵AD∥BC， ∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM⊥BC，AN⊥DC， ∴∠AMB=∠AND=90°， 在△ABM和△ADN中， ， ∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AB= AD， ∴四边形ABCD是菱形． 点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． (责任编辑：admin) |