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12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法： ①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形． 其中，正确的有 ①②③④ （只填写序号）． 考点： 菱形的 判定；平行四边形的判定；矩形的判定． 专题： 压轴题． 分析： 根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答． 解答： 解：①∵DE∥CA，DF∥BA， ∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确； ②若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确； ③若AD平分∠BAC，则DE=DF； 所以 平行四边形是菱形；故③正确； ④若AD⊥BC，AB=AC； 根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC； 由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④． 点评： 此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 一组邻边相等的平行四边形是菱形． 13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件 AB=AD ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）． 考点： 菱形的判定． 专题： 开放型． 分析： 根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABCD是平行四边形；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可补充条件AB=AD．此题属开放性题目，答案不唯一． 解答： 解：可添加的条件为AB=AD， ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD为菱形． 故答案为：AB=AD． 点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法： ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 三．解答题（共7小题） 14．如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形． 考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）利用AAS判定两三角形全等即可； （2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠B=∠1， 又∵DE∥AC ∴∠2=∠E， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE； （2）∵平行四边形ABCD中， ∴AD∥BC， 即AD∥CE， 由DE∥AC， ∴ACED为平行四边形， ∵AC=BC， ∴∠B=∠CAB， 由AB∥CD， ∴∠CAB=∠ACD， 又∵∠B=∠ADC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴AC=AD， ∴四边形ACED为菱形． 点评： 本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大． (责任编辑：admin) |