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28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形． （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？ （3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD=PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 考点： 四边形综合题． 分析： （1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD=PC即可，因为Q、P点的速度已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况：点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2=60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t； （3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t． 解答： 解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ=CP， 当P从B运动到C时，如图（1）： ∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t， CP=21﹣2t ∴16﹣t=21﹣2t 解得t=5 当P从C运动到B时， ∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t， CP=2t﹣21 ∴16﹣t=2t﹣21， 解得t= ， ∴当t=5或 秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，如图（2）： ， 即 ， 解得t=9； 若点P返回时，CP=2（t﹣ ）， 则 ， 解得t=15． 故当t=9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2； （3）当PQ=PD时，如图（3）： 作PH⊥AD于H，则HQ=HD ∵QH=HD= QD= （16﹣t） 由AH=BP得2t= （16﹣t）+t， 解得t= 秒； 当PQ=QD时QH=AH﹣AQ=BP﹣AQ=2t﹣t=t，QD=16﹣t， ∵QD2=PQ2=t2+122 ∴（16﹣t）2=122+t2 解得t= （秒）； 当QD=PD时DH=AD﹣AH=AD﹣BP=16﹣2t， ∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+（16﹣2t）2 ∴（16﹣t）2=122+（16﹣2t）2 即3t2﹣32t+144=0 ∵△＜0， ∴方程无实根， 综上可知，当t= 秒或t= 秒时，△PQD是等腰三角形． 点评： 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏． (责任编辑：admin) |