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26．（10分）（2014秋?盐都区期中）△ABC中，DE，FG分别垂直平分边AB，AC，垂足分别为点D，G． （1）如图，①若∠B=30°，∠C=40°，求∠EAF的度数； ②如果BC=10，求△EAF的周长； ③若AE⊥AF，则∠BAC= 135° °． （2）若∠BAC=n°，则∠EAF= 2n﹣180 °（用含n代数式表示） 考点： 线段垂直平分线的性质． 分析： （1）①根据三角形内角和定理得到∠BAC=110°，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据等腰三角形的性质得到答案； ②根据线段垂直平分线的性质求出△EAF的周长； ③根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数； （2）根据三角形内角和定理和（1）中的结论得到答案． 解答： 解：（1）①∵∠B=30°，∠C=40°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣40°=110°， ∵DE，FG分别垂直平分边AB，AC， ∴EA=EB，FA=FC， ∴∠BAE=∠B=30°，∠FAC=∠C=40°， ∴∠EAF=110°﹣30°﹣40°=40°； ②△EAF的周长=EA+FA+EF=BE+EF+FC=BC=10； ③由①得，∠BAE=∠B，∠FAC=∠C， ∴2∠BAE+2∠FAC+∠EAF=180°， ∴∠BAE+∠FAC=45°， ∴∠BAC=90°+45°=135°； （2）∠B+∠C=180°﹣n°， ∠EAF=n°﹣（180°﹣n°）=2n﹣180． 点评： 本题考查的是线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 27．（12分）（2015?盘锦四模）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点． （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系是 AE=BF ； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析： （1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可； （2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可； （3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可． 解答： 解：（1）如图1， 当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF， 理由是：∵Q为AB的中点， ∴AQ=BQ， ∵AE⊥CQ，BF⊥CQ， ∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°， 在△AEQ和△BFQ中 ∴△AEQ≌△BFQ， ∴AE=BF， 故答案为：AE∥BF，AE=BF； （2） QE=QF， 证明：延长EQ交BF于D， ∵由（1）知：AE∥BF， ∴∠AEQ=∠BDQ， 在△AEQ和△BDQ中 ∴△AEQ≌△BDQ， ∴EQ=DQ， ∵∠BFE=90°， ∴QE=QF；， （3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立， 证明：延长EQ交FB于D，如图3， ∵由（1）知：AE∥BF， ∴∠AEQ=∠BDQ， 在△AEQ和△BDQ中 ∴△AEQ≌△BDQ， ∴EQ=DQ， ∵∠BFE=90°， ∴QE=QF． 点评： 本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中． (责任编辑：admin) |