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25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE． （1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD=CE． （2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．） （3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案； （2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案． （3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC， ∵D为AC中点， ∴∠DBC=30°，AD=DC， ∵BD=DE， ∴∠E=∠DBC=30° ∵∠ACB=∠E+∠CDE， ∴∠CDE=30°=∠E， ∴CD=CE， ∵AD=DC， ∴AD=CE； （2）成立， 如图2，过D作DF∥BC，交AB于F， 则∠ADF=∠ACB=60°， ∵∠A=60°， ∴△AFD是等边三角形， ∴AD=DF=AF，∠AFD=60°， ∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°， ∵DF∥BC， ∴∠FDB=∠DBE=∠E， 在△BFD和△DCE中 ∴△BFD≌△DCE， ∴CE=DF=AD， 即AD=CE． （3）（2）中的结论仍成立， 如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P， ∵△ABC是等边三角形， ∴△APD也是等边三角形， ∴AP=PD=AD，∠APD=∠ ABC=∠ACB=∠PDC=60°， ∵DB=DE， ∴∠DBC=∠DEC， ∵DP∥BC， ∴∠PDB=∠CBD， ∴∠PDB=∠DEC， 在 △BPD和△DCE中， ∴△BPD≌△DCE， ∴PD=CE， ∴AD=CE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． (责任编辑：admin) |