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三、解答题(本大题共5小题,满分53分) 12.(9分)两两相交的三条公路经过A,B,C三个村庄. (1)要建一个水电站P到三个村庄的距离相等,请通过画图确定点P的位置. (2)要建一个加油站Q,使加油站Q到三条公路的距离相等,这样的加油站Q的位置有 4 处. 解:(1)如图,由于“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”, 分别作AB,BC,CA边的垂直平分线,相交于点P,点P即为所求. 13.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是线段AB的垂直平分线,∠CAE∶∠EAB=4∶1. (1)求证:AE=BE; (2)求证:∠AEC=2∠B; (3)求∠B的度数. 解:(1)∵DE是线段AB的垂直平分线, ∴AE=BE. (2)∵AE=BE, ∴∠B=∠EAD, ∴∠AEC=∠B+∠EAD=2∠B. (3)设∠B=x°,则∠CAE=4x°, ∴4x+x+x+90=180, ∴x=15. 14.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知两点A(1,2),B(-1,-1). (1)画出以点B为顶角的顶点,对称轴平行于y轴的等腰△ABC,并写出C点的坐标; (2)A点关于x轴的对称点为M,平移△ABC,使A点平移至M点的位置,点B的对应点为点N,点C的对应点为点P,画出平移后的△MNP,并求出△MNP的面积. 解:(1)△ABC如图所示,C(-3,2). (2)△MNP如图所示,△MNP的面积=×4×3=6. 15.(12分)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,我们发现这个三角形有一种特性,即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形.为此,请你解答问题; 如图2,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,请你在图中画一条射线(不必写画法),把它分成两个小等腰三角形,并写出底角的大小. 解:如图所示,由AB=AC,∠A=108°,可知∠C=36°, 过点A在∠BAC内部作射线AD,使得∠DAC=36°, 则在△ABD中,∠BAD=72°,∠ADB=72°, 在△ACD中,∠DAC=∠C=36°, 故△ACD和△ABD均为等腰三角形, 故射线AD即为所求. 16.(12分)问题情境:如图1,点D是△ABC外的一点,点E在BC边的延长线上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.试探究∠D与∠A的数量关系. (1)特例探究: 如图2,若△ABC是等边三角形,其余条件不变,则∠D= 30° ; 如图3,若△ABC是等腰三角形,顶角∠A=100°,其余条件不变,则∠D= 50° ;这两个图中,∠D与∠A度数的比是 1∶2 ; (2)猜想证明: 如图1,△ABC为一般三角形,在(1)中获得的∠D与∠A的关系是否还成立?若成立,利用图1证明你的结论;若不成立,说明理由. 解:(2)成立, 如题图1,在△ABC中,∠ACE=∠A+∠ABC, 在△DBC中,∠DCE=∠D+∠DBC,① ∵CD平分∠ACE,BD平分∠ABC, ∴∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC, 又∵∠ACE=∠A+∠ABC, ∴2∠DCE=∠A+2∠DBC,② 由①×2-②,得2∠D+2∠DBC-(∠A+2∠DBC)=0, ∴∠A=2∠D. (责任编辑：admin) |