|
24．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 考点： 等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 探究型． 分析： 先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形． 解答： 解：△APQ为等边三角形． 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC． 在△ABP与△ACQ中， ∵ ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）． ∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ． ∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， ∴△APQ是等边三角形． 点评： 考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法． 25．已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点， （1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形； （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； （2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°﹣45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等． 解答： （1）证明：连接AD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=AD． ∴∠B=∠DAC=45° 又BE=AF， ∴△BDE≌△ADF（SAS）． ∴ED=FD，∠BDE=∠ADF． ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°． ∴△DEF为等腰直角三角形． （2）解：△DEF为等腰直角三角形． 证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示： 连接AD， ∵AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一）， ∴∠DAC=∠ABD=45°． ∴∠DAF=∠DBE=135°． 又AF=BE， ∴△DAF≌△DBE（SAS）． ∴FD=ED，∠FDA=∠EDB． ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°． ∴△DEF仍为等腰直角三角形． 点评： 本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定． (责任编辑：admin) |