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三、解答题（共46分） 19．如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹． 考点： 作图—应用与设计作图． 分析： 根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解． 解答： 解：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知， 作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等． （2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小， 理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的． 点评： 本题利用了中垂线的性质，轴对称的性质，三角形三边的关系求解． 20．已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC． 考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论． 解答： 证明：∵BF=AC，FD=CD，AD⊥BC， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL） ∴∠C=∠BFD， ∵∠DBF+∠BFD=90°， ∴∠C+∠DBF=90°， ∵∠C+∠DBF+∠BEC=180° ∴∠BEC=90°，即BE⊥AC． 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题． 21．如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC．求证：AE=BE． 考点： 等腰三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 由AD平分∠CAB，DE∥AC可证得∠DAE=∠ADE，得到AE=DE，再结合BD⊥AD，可得∠EDB=∠EBD，得到ED=EB，从而可得出结论． 解答： 证明：∵DE∥AC， ∴∠CAD=∠ADE， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠ADE， ∴AE=ED， ∵BD⊥AD， ∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°， 又∠ADE=∠DAB， ∴∠EDB=∠ABD， ∴DE=BE， ∴AE=BE． 点评： 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，利用DE作中介得到AE=DE，BE=DE是解题的关键． 22．如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形． 考点： 作图-轴对称变换． 专题： 作图题． 分析： 利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1． 解答： 解：△ABC各顶点的坐标为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）； △ABC关于y轴对称的图形如图中△A1B1C1． 点评： 本题考查了轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点． 23．如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长． 考点： 等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形． 分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 解答： 解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×120°=60°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE=∠EAB= ∠BAD= ×60°=30°， ∵DF∥AB， ∴∠F=∠BAE=30°， ∴∠DAE=∠F=30°， ∴AD=DF， ∵∠B=90°﹣60°=30°， ∴AD= AB= ×9=4.5， ∴DF=4.5． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． (责任编辑：admin) |