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24．已知：△ABC是等边三角形． （1）用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线BE、CD，BE，CD交于点O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）过点C画射线CF⊥BC，垂足为C，CF交射线BE与点F．求证：△OCF是等边三角形； （3）若AB=2，请直接写出△OCF的面积． 考点： 作图—复杂作图；等边 三角形的判定与性质． 分析： （1）利用直尺和圆规即可作出； （2）根据等边三角形的每个角的度数是60°，以及三角形的内角和定理，证明∠F=∠FCO=60°即可证得； （3）作OG⊥BC于点G，△OBC是等腰三角形，利用三角函数求得OC的长，则△OCF的面积即可求得． 解答： 解：（1） BE、CD就是所求； （2）∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠FBC= ∠ABC= ×60°=30°， 同理，∠BCD=30°． ∵CF⊥BC，即∠BCF=90°， ∴∠F=∠FCO=60°， ∴△OCF是等边三角形； （3）作OG⊥BC于点G． ∵∠FBC=∠DCB=30°， ∴OB=OC， ∴CG= BC= AB=1， ∴OC= = = ． 则S等边△OCF= = ． 点评： 本题考查了等边三角形的性质以及判定，和尺规作图，正确求得OC的长度是本题的关键． 25．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象． （1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离； （2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇； （3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象． 考点： 一次函数的应用． 分析： （1）由速度=路程÷时间就可以得出结论，由函数图象的数据意义直接可以得出A、B两地之间的距离； （2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由一次函数与二元一次方程组的关系就可以求出结论； （3）先求出两车相遇的时间，找到关键点的坐标就可以画出图象． 解答： 解：（1）由题意，得， A、B两地距离之间的距离为2250km， 快车的速度为：2250÷10=225km/h， 慢车的速度为：2250÷30=75km/h； （2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由题意，得 2250=10k， ， ， 解得：k=225， ， ， ∴y=225x，y1=﹣225x+4500，y2=﹣75x+2250 当225x=﹣75x+2250时， x=7.5． 当﹣225x+4500=﹣75x+2250时， 解得：x=15． 答：慢车出发7.5小时或15小时时，两车相遇； （3）由题意，得 7.5小时时两车相遇，10时时，两车相距2.5（225+75）=750km，15时时两车相遇，20时时两车相距750km，由这些关键点画出图象即可． 点评： 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，作函数图象的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 26．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长． （如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出） ． 考点： 矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理． 分析： 分点A是顶角顶点和底角顶点两种情况作出图形，然后过点E作EG⊥AD于G，利用勾股定理列式求出AG：①点A是顶角顶点时，求出GF，再利用勾股定理列式计算即可得解；②点A是底角顶点时，根据等腰 三角形三线合一的性质可得AF=2AG． 解答： 解：如图，过点E作EG⊥AD于G， 由勾股定理得，AG= =3， ①点A是顶角顶点时，GF=AF﹣AG=5﹣3=2， 由勾股定理得，底边EF= =2 ， ②点A是底角顶点时，底边AF=2AG=2×3=6， 综上所述，底边长为2 或6． 点评： 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． (责任编辑：admin) |