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24. 解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF， 在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE=BF，∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=AD2=16为常数． 25. 证明：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF， ∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∴AB=AD′，∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF，∴AF=CE， ∴AD-AF=BC-CE，∴DF=BE，∴BE=FD′，在△ABE和△AD′F中 ，∴△ABE≌△AD′F（SSS）； （2）解：四边形AECF是菱形．理由如下：∵AF=EC，AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形，∵EA=EC，∴四边形AECF是菱形； （3）EF与AC相等时，四边形AECF是正方形．理由如下： ∵四边形AECF是菱形，∴当EF=AC时，四边形AECF是正方形． 26. 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90° ∵在△PBA和△FBC中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，∴△PBA≌△FBC（SAS）。 ∴PA=FC，∠PAB=∠FCB。∵PA=PE，∴PE=FC。∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°。 ∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°。 ∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形。 （2）结论：四边形EPCF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°。∵在△PBA和△FCB中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF， ∴△PBA≌△FBC（SAS）。∴PA=FC，∠PAB=∠FCB。∵PA=PE，∴PE=FC。 ∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB。∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形。 27.（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°， ∴∠DAD1+∠CAB=90°，∵DD1⊥AB，∴∠DD1A=∠ABC=90°，∴∠DAD1+∠ADD1=90°， ∴∠ADD1=∠CAB，在△ADD1和△CAB中， ，∴△ADD1≌△CAB（AAS），∴DD1=AB； （2）解：AB=DD1+EE1．证明：过点C作CH⊥AB于H，∵DD1⊥AB，∴∠DD1A=∠CHA=90°， ∴∠DAD1+∠ADD1=90°，∵四边形CADF是正方形，∴AD=CA，∠DAC=90°， ∴∠DAD1+∠CAH=90°， ∴∠ADD1=∠CAH，在△ADD1和△CAH中， ，∴△ADD1≌△CAH（AAS），∴DD1=AH；同理：EE1=BH， ∴AB=AH+BH=DD1+EE1； （3）解：AB=DD1-EE1．证明：过点C作CH⊥AB于H，∵DD1⊥AB，∴∠DD1A=∠CHA=90°， ∴∠DAD1+∠ADD1=90°，∵四边形CADF是正方形，∴AD=CA，∠DAC=90°， ∴∠DAD1+∠CAH=90°， ∴∠ADD1=∠CAH，在△ADD1和△CAH中， ，∴△ADD1≌△CAH（AAS），∴DD1=AH；同理：EE1=BH，∴AB=AH-BH=DD1-EE1． (责任编辑：admin) |