一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 安徽省利辛县教育局督导室 夏 飞 对于一元二次方程 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 分析:在同时满足方程(1),(2)条件的 ![]() ![]() 解:∵方程(1)有两个不相等的实数根, ∴ ![]() 解得 ![]() ∵方程(2)没有实数根, ∴ ![]() 解得 ![]() 于是,同时满足方程(1),(2)条件的 ![]() ![]() 其中, ![]() ![]() ![]() 当 ![]() ![]() 当 ![]() ![]() 解得: ![]() 所以,使方程(1)有整数根的 ![]() ![]() 说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定 ![]() ![]() 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1:不解方程,判别方程 ![]() 分析:对于 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 解:∵ ![]() ![]() ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为 ![]() ∵ ![]() ∴原方程有两个异号的实数根。 说明:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中 ![]() ![]() ![]() 三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。 例2:已知方程 ![]() ![]() 分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把 ![]() ![]() ![]() 解法一:把 ![]() ![]() 即 ![]() 解得 ![]() 当 ![]() ![]() 解得: ![]() ∴方程 ![]() ![]() 解法二:设方程的另一个根为 ![]() 根据题意,利用韦达定理得: ![]() ![]() ∵ ![]() ![]() ![]() ![]() ∴把 ![]() ![]() ![]() 即 ![]() 解得 ![]() ∴方程 ![]() ![]() 说明:比较起来,解法二应用了韦达定理,解答起来较为简单。 例3:已知方程 ![]() ![]() 分析:本题若利用转化的思想,将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于 ![]() ![]() 解:∵方程有两个实数根, ∴△ ![]() 解这个不等式,得 ![]() 设方程两根为 ![]() 则 ![]() ![]() ∵ ![]() ∴ ![]() ∴ ![]() 整理得: ![]() 解得: ![]() 又∵ ![]() ![]() 说明:当求出 ![]() ![]() ![]() 四、运用判别式及根与系数的关系解题。 例5:已知 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 解:因为关于 ![]() ![]() ∴则有 ![]() ∴ ![]() 又∵ ![]() ![]() ![]() ![]() 假设 ![]() ![]() (1) ![]() ![]() 若 ![]() ![]() 即有: ![]() 解这个不等式组,得 ![]() ∵ ![]() 若 ![]() ![]() 即有: ![]() 解这个不等式组,得 ![]() 又∵ ![]() ![]() 说明:一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系,是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具,也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样,是设计考察创新能力试题的良好载体,在中考中与此有联系的试题出现频率很高,应是同学们重点练习的内容。 六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 例:已知 ![]() ![]() ![]() ![]() 分析:本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题,应摒弃常规的求根后,再带入的方法,力求简解。 解法一:由于 ![]() ![]() ![]() 设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 根据根与系数的关系,有: ![]() ![]() 于是,得: ![]() ![]() ∴ ![]() 解法二:由于 ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ∴ ![]() 说明:既要熟悉问题的常规解法,也要随时想到特殊的简捷解法,是解题能力提高的重要标志,是努力的方向。 有关一元二次方程根的计算问题,当根是无理数时,运算将十分繁琐,这时,如果方程的系数是有理数,利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变,式子的变形具有创造性,重在考查能力,多年来一直受到命题老师的青睐。 七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。 例8:已知两方程 ![]() ![]() 分析:当设两方程的相同根为 ![]() ![]() ![]() 解:设两方程的相同根为 ![]() 有 ![]() ![]() 两式相减,得 ![]() 当 ![]() ![]() ![]() 方程无实数解 当 ![]() ![]() 代入原方程,得 ![]() 所以 ![]() 于是,两方程至少有一个相同的实数根,4个实数根的相乘积为 ![]() 说明:(1)本题的易错点为忽略对 ![]() ![]() 当 ![]() ![]() ![]() (2)既然本题是讨论一元二次方程的实根问题,就应首先确定方程有实根的条件: ![]() 且 ![]() 另外还应注意:求得的 ![]() 【趁热打铁】 一、填空题: 1、如果关于 ![]() ![]() ![]() 2、已知关于 ![]() ![]() ![]() 3、已知关于 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4、已知 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5、已知关于 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6、如果关于 ![]() ![]() ![]() ![]() 7、已知 ![]() ![]() ![]() 8、一个一元二次方程的两个根是 ![]() ![]() 二、求值题: 1、已知 ![]() ![]() ![]() 2、已知 ![]() ![]() ![]() 3、已知 ![]() ![]() ![]() 4、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。 5、已知关于x的方程 ![]() ![]() ![]() 6、已知方程 ![]() ![]() ![]() 三、能力提升题: 1、实数 ![]() ![]() 2、已知关于 ![]() ![]() (1)求证:无论 ![]() (2)若这个方程的两个实数根 ![]() ![]() ![]() ![]() 3、若 ![]() ![]() ![]() ![]() 4、是否存在实数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5、已知关于 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6、实数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 答案与提示: 一、填空题: 1、提示: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() 2、提示: ![]() ![]() ![]() ![]() 解得: ![]() ![]() ![]() 3、提示:由于韦达定理得: ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() 4、提示:由韦达定理得: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5、提示:由韦达定理得: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6、提示:设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7、提示:设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() 8、提示:设所求的一元二次方程为 ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() ![]() 二、求值题: 1、提示:由韦达定理得: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2、提示:由韦达定理得: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3、提示:由韦达定理得: ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4、提示:设这两个数为 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5、提示:由韦达定理得 ![]() ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ①当 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ②当 ![]() ![]() ![]() ![]() 解这个方程组得: ![]() 6、提示:设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 以下分两种情况:(1)当 ![]() ![]() ![]() ![]() 所以 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 三、能力提升题: 1、提示:方程有正的实数根的条件必须同时具备:①判别式△≥0;② ![]() ![]() ![]() 解这个不等式组得: ![]() 2、提示:(1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 解这个关于 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3、提示:可利用韦达定理得出① ![]() ![]() ![]() 求得不等式组的解,且兼顾 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4、答案:存在。 提示:因为 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 解这个方程组得:①当 ![]() ![]() ![]() ![]() 所以 ![]() ![]() ![]() 5、提示:由韦达定理得: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6、提示:利用求根公式可分别表示出方程 ![]() ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() ![]() 又∵ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |