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一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 安徽省利辛县教育局督导室 夏 飞 对于一元二次方程  ，当判别式△＝ 时，其求根公式为： ；若两根为 ，当△≥0时，则两根的关系为： ； ，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式 存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根 ，进而分解因式，即 。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于  的方程（1） 有两个不相等的实数根，且关于的方程（2） 没有实数根，问 取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的 的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴  解得  ；∵方程（2）没有实数根， ∴  解得  ；于是，同时满足方程（1），（2）条件的 的取值范围是 其中， 的整数值有 或 当 时，方程（1）为 ，无整数根；当 时，方程（1）为 ，有整数根。解得：  所以，使方程（1）有整数根的 的整数值是。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定 的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程  两根的符号。 分析：对于 来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或 的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。解：∵ ，∴△＝ —4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为  ， ∵  ＜0∴原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中 ＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程  的一个根为2，求另一个根及 的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把  代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把 代入原方程，得： 即  解得  当 时，原方程均可化为： ，解得：  ∴方程 的另一个根为4，的值为3或—1。解法二：设方程的另一个根为  ，根据题意，利用韦达定理得：  ， ∵  ，∴把代入，可得： ∴把 代入，可得： ，即 解得 ∴方程 的另一个根为4，的值为3或—1。 说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。 例3：已知方程  有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于 的方程，即可求得的值。解：∵方程有两个实数根， ∴△  解这个不等式，得 ≤0 设方程两根为  则  ， ∵  ∴  ∴  整理得：  解得：  又∵  ，∴ 说明：当求出 后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的 。 四、运用判别式及根与系数的关系解题。 例5：已知  、 是关于的一元二次方程 的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于 的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有  ∴  又∵ 、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得： 假设 、同号，则有两种可能：（1）  （2） 若 ， 则有：  ；即有：  解这个不等式组，得  ∵ 时方程才有实树根，∴此种情况不成立。若 ， 则有： 即有：  解这个不等式组，得  ；又∵ ，∴当时，两根能同号 说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。 六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 例：已知  、 是方程 的两个实数根，求 的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 解法一：由于 是方程的实数根，所以 设  ，与 相加，得： ）  （变形目的是构造 和 ）根据根与系数的关系，有：  ， 于是，得：   ∴ =0解法二：由于 、是方程的实数根，∴ ∴  说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。 有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。 七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。 例8：已知两方程  和 至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为 时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为 ， 根据根的意义，有   两式相减，得  当  时，  ，方程的判别式 方程无实数解 当  时， 有实数解  代入原方程，得  ，所以  于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为  说明：（1）本题的易错点为忽略对 的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：当 时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为： ；（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：  且  另外还应注意：求得的 的值必须满足这两个不等式才有意义。【趁热打铁】 一、填空题： 1、如果关于  的方程 的两根之差为2，那么 。2、已知关于 的一元二次方程 两根互为倒数，则 。3、已知关于 的方程 的两根为，且 ，则 。4、已知 是方程 的两个根，那么： ； ； 。5、已知关于 的一元二次方程 的两根为 和，且 ，则 ； 。6、如果关于 的一元二次方程 的一个根是 ，那么另一个根是 ，的值为 。7、已知  是 的一根，则另一根为 ， 的值为 。8、一个一元二次方程的两个根是  和 ，那么这个一元二次方程为： 。二、求值题： 1、已知 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。2、已知 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。3、已知 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 5、已知关于x的方程  的两根满足关系式 ，求的值及方程的两个根。6、已知方程  和 有一个相同的根，求的值及这个相同的根。三、能力提升题： 1、实数 在什么范围取值时，方程 有正的实数根？2、已知关于 的一元二次方程 （1）求证：无论 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）若这个方程的两个实数根 、满足 ，求的值。3、若  ，关于的方程 有两个相等的正的实数根，求 的值。4、是否存在实数 ，使关于的方程 的两个实根 ，满足 ，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。5、已知关于 的一元二次方程 （ ）的两实数根为，若 ，求的值。6、实数 、 分别满足方程 和 ，求代数式 的值。答案与提示： 一、填空题： 1、提示：  ， ， ，∴ ， ∴  ，解得： 2、提示：  ，由韦达定理得： ， ，∴ ，解得：  ，代入检验，有意义，∴。3、提示：由于韦达定理得：  ， ，∵，∴  ，∴ ，解得： 。4、提示：由韦达定理得：  ， ，   ；  ；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则   ；②设＜0，＞0，则 。5、提示：由韦达定理得：  ， ，∵，∴ ， ，∴ ，∴ 。6、提示：设  ，由韦达定理得： ， ，∴ ，解得： ， ，即 。7、提示：设  ，由韦达定理得： ， ，∴ ，∴  ，∴ 8、提示：设所求的一元二次方程为  ，那么 ， ，∴  ，即 ； ；∴设所求的一元二次方程为： 二、求值题： 1、提示：由韦达定理得：  ， ，∴     2、提示：由韦达定理得：  ， ，∴    3、提示：由韦达定理得：  ，，∴      4、提示：设这两个数为 ，于是有 ， ，因此可看作方程的两根，即 ， ，所以可得方程： ，解得： ， ，所以所求的两个数分别是 ， 。5、提示：由韦达定理得  ， ，∵，∴ ，∴  ，∴ ，化简得： ；解得： ， ；以下分两种情况：①当 时， ，，组成方程组： ；解这个方程组得： ；②当 时， ，，组成方程组： ；解这个方程组得：  6、提示：设 和相同的根为 ，于是可得方程组： ；① ②得： ，解这个方程得： ；以下分两种情况：（1）当  时，代入①得 ；（2）当 时，代入①得 。所以 和相同的根为，的值分别为，。三、能力提升题： 1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②  ＞0，＞0；于是可得不等式组： 解这个不等式组得： ＞12、提示：（1） 的判别式△  ＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得： 解这个关于 的方程组，可得到： ， ，由于 ，所以可得 ，解这个方程，可得： ， ；3、提示：可利用韦达定理得出① ＞0，②＞0；于是得到不等式组： 求得不等式组的解，且兼顾 ；即可得到＞ ，再由 可得： ，接下去即可根据，＞，得到 ，即：＝44、答案：存在。 提示：因为 ，所以可设 （ ）；由韦达定理得： ， ；于是可得方程组： 解这个方程组得：①当  时， ；②当 时， ；所以 的值有两个： ； ；5、提示：由韦达定理得：  ， ，则   ，即 ，解得： 6、提示：利用求根公式可分别表示出方程 和的根： ， ，∴  ，∴ ，∴ ，又∵ ，变形得： ，∴  ，∴
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