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比较二次根式大小的巧妙方法 安徽省亳州市利辛县教育局 夏 飞 二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。 一、移动因式法 此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例1：比较  的大小。解：    ＞ ∴  ＞ 二、运用平方法 两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例2：比较  与 的大小。解：∵  ， ＞0，＞0∴ ＜三、分母有理化法 此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。 例3：比较  与 的大小。解：   ∴ ＞四、分子有理化法 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。 例4：比较  与 的大小解：∵        ＞ ∴ ＞五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设  为任意两个实数，先求出 与 的差，再根据“当 ＜0时， ＜；当 时， ；当＞0时，＞”来比较与的大小。求商法的基本思路是：设 为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当 ＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数” 来比较与的大小。例5：比较  的大小。解：∵     ＜ ∴  ＜ 例6：比较  的大小。解：∵  ＞1∴  ＞ 六、求倒数法 先求两数的倒数，而后再进行比较。 例7：比较  的大小。解：∵     ＞∴  ＜ 七、运用媒介法 此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。 例8：已知  ， ，试比较 的大小。解：设  ，则   ，  ∵  ＜ ，∴ ＜ ，即 ＜ 八、设特定值法 如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。 例9：比较   与 的大小。解：设  ，则：＝1，＝ ∵ ＜1，∴＞九、局部缩放法 如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。 例10：比较  的大小。解：设  ， ∵  ，7＜ ＜8，即7＜＜8 ，8＜ ＜9，即8＜＜9∴ ＜，即 ＜ 例11：比较  与 的大小。解：∵ ＞  ∴ ＞ 十、“结论”推理法 通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“  ＞  （＞ ＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。例12：比较1与  的大小。解：∵  ，由 ＞（＞＞0）可知： ＞ 即 ＞ 又∵ ＞ ∴ ＞，即1＞总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。 附：“ ＞（＞＞0）”的证明。证明：∵  ， ， ＞ ∴ ＞（＞＞0）【典题新练】： 1、比较  与 的大小；2、比较  与 的大小；3、比较  与 的大小；4、比较  与 的大小；5、比较  与 的大小；6、比较  与 的大小（其中 为正整数）；7、设  ， ，试比较它们的大小；8、比较  与 的大小；9、比较  与 的大小；10、 比较  与 的大小；11、比较  与 的大小；12、比较  的大小；13、比较  与 的大小；14、 比较  与的大小；15、若 为正整数，试比较 的大小；16、比较  的大小；17、比较  与 的大小。【典题新练参考答案】： 1、提示：  ， ，∴＜2、提示：平方后再进行比较。   ， ，∴ ＞3、提示：可利用 ＞（＞＞0）。＞ ，即＞4、提示：分母有理化后再进行比较。  ， ， ＜ ，∴ ＜5、提示：分子有理化后再进行比较。     ∵  ＞ ，∴ ＜ ，即 ＜6、提示：∵  ， 其中 为正整数， ∴ ＞ 故 ＜7、提示：设  ，则：  ， ∵ ＜ ∴＜，∴＜8、平方后再进行比较。  ， ，又∵ ＞ ，∴ ＞ ∴  ＜ ，∴ ＜ 9、提示：∵2＜  ＜3，7＜ ＜8，∴＜5＜，∴＜10、提示：分子有理化后再进行比较。 因为   ， ，而 ＞ 所以 ＜ ，故＜11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。 ∵  ， ＞ ，∴＜12、提示：∵ ，而7＜＜8，∴的整数部分为7 。同样可得 的整数部分为8，∴ ＜13、提示：∵ ＞  ∴ ＞14、提示：平方后再比较大小。 ∵  ，，∴ ＜15、提示：由偶次根式的定义得  ，∴ ＜2009，∴ ＜0，∴  ＞0， ＜0，∴＞16、提示：由  ，设 ＞ ，则 ＞4，两边平方得： ＞16，∴ ＞4，这与＜ ＝4相矛盾，∴假设不成立，故 ＜。17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。  ，示例如下图： ， ， ； 。由图可知： ＞ ，即＞
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