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切莫忽视一元二次方程中的隐含条件 安徽省亳州市利辛县教育局督导室 夏 飞 一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点。许多同学在解题时，由于对题目中的隐含条件重视不够，在平时作业或考试当中往往出现错解。现将常见的错误情况公布于众，以期引起广大师生的共同注意。 错误之一：忽视二次项系数不能为0 例1、已知关于  的一元二次方程 的两根为 、 。问： 为何值时， ？误解：∵关于 的一元二次方程的两根为、，根据题意，由求根公式得：  ，即  ，解得： ∴当 时，。分析：既然 是一元二次方程，那么这里就有一个隐含条件，即 ，也就是 ；还有，方程中的一次项系数含有 ，这就意味着被开方数 ，即 ，这也是题目中的一个隐含条件，综合起来，即 ＜ ，而上述解答中就忽视了这个条件。另外，既然方程有两个根，那么到底是两个相等的根还是两个不相等的根呢？这得由判别式来确定，所以还应求出判别式的值： ，由于＜，所以可判定 ＞0，即方程有两个不相等的实数根。而又因为，所以可判定 ，即 ，由韦达定理得： ，又由于＜，解得正确答案为： 。例2、关于 的一元二次方程 有两个实数根，求 的值.。误解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0， 即  解之得  分析：  ，即 时，原方程为一元一次方程。所以，正确的答案应为 ＜2，且 。错误之二：忽视负的平方根和算术平方根的非负性 例3、解方程：  误解： ∴ ∴ ∴ 分析：此解错就错在由 正确的解为： ∴ ∴ ∴ ∴原方程的解为： 例4、已知 误解：把  代入原方程，得 。解之得： ， 。⑴当  时， ， ，∴所求的一元二次方程为 ；⑵当  时， ， ，∴所求的一元二次方程为 。分析：此解主要错在未考虑到  这一问题。因而 应舍去。正解应为：所求的一元二次方程为 。错误之三：忽视结论的多解情况 例5、若关于x的方程  只有一个解，试求的值与方程的解.误解：将原方程化简，得  ∴当  时，原方程有唯一解 分析：将原方程化简，得： ，应分为两种情况讨论。①当 时，原方程有唯一解； ②当  时，方程的判别式为： ＞0∴方程 总有两个不同的实数根，按题设原方程只有一个解，因此必有一根是原方程的增根，从原方程知道，增根只可能是使 即 或 .显然，0不是 的根，故是此方程的根。将 代入得： ；因为一根是 ，，所以由根与系数的关系可求出方程的另一根（应用两根之和或两根之积结果相同），为： ，∴当 时，原方程也有唯一的解为.例6、已知 、 分别满足 和 ，则 的值是多少？误解：由题意可知 、应是方程 （ ）的两个根， ，∵ ，∴△＞0，∴方程 的两根不等，根据韦达定理得：  ， ，∴    分析：既然 、分别满足和，那么就有 这种情况，而上述解答看似很合理，却忽视了这种情况。这其实是一个“陷阱”，应必须考虑到这种情况。在  时有上述结论存在，而当时， 。∴本题正确的解应为  或2那么弄丢这种存在情况的原因在哪里呢？ 主要是在于把 、视为方程（）的两个根，这就自然而然地忽视了这种情况的存在了，因为的判别式在的情况下 ＞0，就没有 的这种情况了。错误之四：忽视二次方程的△的取值 例7、已知关于 的二次方程 的两个实数根的平方和为17，求的值。误解：设方程的两个实数根为  、 ，由韦达定理得：  ， ，∴  ，即  ，解得：  ， 分析：设方程的两个实数根为 、，利用韦达定理求得：，，再由两个实数根的平方和为17，得 解得： ，这样解看似合理的，但最关键的一点是忽视了 的判别式△的取值情况。 当 时， ＜0化简 得 ，方程无实数根；当 时， ＞0，方程有实数根。故只取 。例8、已知 、是方程 的两实数根，且 ，求的值。误解：根据题意由韦达定理得：  ， ∵ ，即 ，∴  。解之得：  ， 。分析：解题时只注意到方程两根的等量关系，而忽视了方程有两个实根时Δ≥0这一先决条件，而当 时△＜0，故应当舍去。∴正解应为  。错误之五：忽视对题目中关键词的辨析 例9、 为何实数时，方程 有实数根。误解：要使方程有实数根，只需  ，即 ，解之得：  ，又∵，∴，且。分析：解法中对方程“有实根”和“有两个实根”未加以辨析，而当  时，原方程为一元一次方程 ，也有实根，是 。所以此题错在误认为原方程一定是一元二次方程，而没想到也可以是一元一次方程。∴正解为 。例10、 、是方程 的两实根，求 的最小值。误解：由已知得  ， ，∴    ∴当 时，的最小值为1。分析：解法中没有注意到有实根的意义和本质是什么，因而忽视了方程有两实根时 这一前提条件。∵当 时，△＜0，此时方程无实根，∴正解的解法还应当求出的取值范围。∵原方程有两实根解， ∴  ，解得：  ，∴当  时，的最小值为 错误之六：忽视对根的符号的考察 例11、已知 、是方程 的两个实根。求 的值。误解：设  ，则 ，由韦达定理得：  ，∴ ，∴ 。分析：∵  ，，∴可知＜0，且＜0，∴  ＜0，故 应当舍去。∴正确的解应当为 。例12、设方程  的两根恰好是直角三角形两锐角的正弦值。求的值。误解：设原方程两根为  ，则 ， ；又由题意知  。即  ，解之得 ，而当时，△＞0，∴ 。分析：解法中考虑△＞0是非常必要的，但是却忽视了 为两锐角正弦值，应当满足0＜＜1，0＜＜1，即 ＞0， ＞0。而当 时，＜0，＜0。故应当舍去，正解为 。
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，
，
的一根，求作以
和
为根的一元二次方程。