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余角、补角纵横谈 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 余角、补角是几何图形中两个重要的数量关系角概念，与角的位置无关．它们分别与两个特殊角直角、平角联系起来，在分析几何图形角的关系时占有十分重要的地位．借助余角、补角的概念，我们可以探究出它们很多有用的性质．由于余角、补角是数量关系角，而方程所表达的是一种相等的数量关系，因此借助方程求解余角、补角问题是最常用的思想方法． 一、正确理解互余、互补 ⑴互余、互补是指两个角的数量关系，而不是三个或更多角的关系． 两个角的和等于90°（直角）时，称这两个角互为余角．而三个或更多角的和也为90°（直角）时，则不能称它们互为余角． 两个角的和等于180°（平角）时，称这两个角互为补角．而三个或更多角的和也为180°（平角）时，则不能称它们互为补角． ⑵余角、补角都是一种“相互”关系． 如∠1、∠2互余，即∠1+∠2=90°，此时∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角． 同时一个角∠α的余角都可以用90°－∠α来表示． ⑶余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关． 余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．因此考虑两个角是否互余、互补，只考虑角的大小，而不需考虑这两个角是否有公共顶点、公共边等关系 二、余角、补角性质的探究 ①两角互余，则这两个角必都为锐角； ②两角互补，则这两个角不可能同时为锐角或钝角．（只可能1锐1钝或两个角都为直角） ③一个角的余角必为锐角； ④一个角的补角可能为锐角、直角、钝角．（其中锐角的补角为钝角、钝角的补角为锐角、直角的补角还是直角．） ⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90° ⑥同角或等角的余（补）角相等 三、巧用方程求解余角、补角问题 两点注意： ⑴正确设未知数并用含所设未知数的式子表示出相关的量：一般设某个角为x，根据余角、补角定义，则这个角的余角为90－x，这个角的补角为180－x． ⑵依据已知条件,寻找出正确的相等关系，列出方程． 例．⑴互余且相等的两个角，各是多少度？ ⑵已知∠A和∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B和∠C的和等于周角的  ．求∠A+∠B+∠C的度数．分析：⑴设其中一个角为x，由两角互余，则另一个角为90－x． 又这两角相等，∴x=90－x 解得 x=45 ⑵设∠A=x，依题意∠B=90－x，∠C=180－x 由∠B和∠C的和等于周角的 ，∴（90－x）+（180－x）=×360解得 x=75 ∴∠B=90－x=15 ∠C=180－x=105 ∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185° (责任编辑：admin) |