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解一类由矩形顶点构成的三角形问题 湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中 谷兴武 我们对网格图形中的格点三角形问题已比较熟悉了，可是在学习《正方形》内容时遇到一些由格点三角形变式的问题却感到有困难。在这些变式的问题里，网格正方形的大小可以不一样，形状也可变成长方形，而且其中的格点三角形不仅需要求面积，也可以求特殊内角的度数，题目的难度增加了。 一、探究方法 湖北省教学研究室编著的数学八(下)《练习册》上有这样一道题：如图1，正方形ABCD的边长为2，点E在AB上，四边形EFGB为正方形，则  =_______________. 分析：这道题让学生和部分老师“卡壳”了。注意到△AFC（即图1的阴影部分）是一个一般三角形，根据图中已知条件易求出AC的长，由于E是AB上的任意一点，可以把E点理解为动点（E在AB上滑动），所以F点也是动点，那么想求出AC边上的高的思路打不开，因此直接用三角形面积公式求△AFC的面积非常困难。笔者提示一下，如果我们把△AFC放置在网格中（且A、F、C三点都在格点上），或把△AFC置身于平面直角坐标系中（且知道A、F、C三点的坐标），那么读者，你的思路现在是不是打开了呢？可能大部分学生都能想到用一个长方形把△AFC“框起来”（如图2）。对，割补法，将△AFC的面积通过实施割补、剪拼等方法转化为规则图形（如矩形、梯形、直角三角形等）的面积之和或差，这样问题就能解决了。 如图2，延长DA、 GF，两者相交于点H，矩形GCDH把△AFC“框起来”。则  （或者 ），可以说思路非常好，但是真正计算时，发现还是缺少条件，由于题目只告知了正方形ABCD的边长为2，而没有告诉正方形EFGB的边长，AH、HF、FG、GC无法求出，所以思路再次受阻。走到这一步，笔者需要提醒读者的是，在平时的数学学习中，要多注意“动点问题”的思维和训练，因为动点问题是近年来中考的一个热点问题。针对某些几何图形，我们要把它看“活”，而不是静止不动的。如图2中，点E是AB上的任意一点，我们可以把它理解为动点，随着动点E在线段AB上滑动，正方形EFGB的边长和△AFC的形状在不断的变化，而题目既然让求出△AFC的面积（即），大胆猜测，肯定是一个定值，难道说，△AFC的面积大小与正方形EFGB的边长的大小无关吗？所以，不妨设正方形EFGB的边长为  ，则=  + - - - =2可见，这个结果中不含字母 ，所以，△AFC的面积大小与正方形EFGB的边长无关。像这样，在三角形△AFC的“外围”构造规则图形（如矩形、梯形等），把△AFC“框起来”，进而想到用整体减去部分的方法求面积，笔者给取个名称，叫“外框法”。本题构造的“外框”有利于发展学生的思维水平和提高学生解题的兴趣，是网格面积的常规求解方法之一。 另外，笔者发现了有少数学生采用了“特殊值法”，如把E看成AB的中点，也使文首的问题得到了解决。我们可以看出，此法虽然不可取，但也不失为作填空题和选择题的好方法。顺着这个思路再深入理解，当E点滑动到A点处或B点处时，在E点滑动的过程中， AC的大小和位置至始至终都没变，而△AFC的AC边上的高的位置在不断的发生变化。而前面已大胆猜测题目所求的△AFC的面积（即 ）肯定是一个定值，所以△AFC的AC边上的高的大小不变。当E点滑动到B点处时，F点与E点重合于B点处，此时△AFC的AC边上的高等于△ABC的AC边上的高。可见△AFC与△ABC是同底等高的三角形，所以 ，为什么呢？经验告诉我们，两平行线之间夹的同底等高的三角形面积相等。从而想到连接BF（如图3），难道BF与AC平行吗？显然∠ACB=∠FBG= ，所以BF∥AC。∴= =2，这种方法，笔者给取个名称，叫“等面积转换法”。 二、应用举例 下面，我们进行“实战演练”。 (一) 求矩形顶点构成的三角形的面积 例1 （2010中考·广西南宁）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图4所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为( ) A．10 B．12 C．14 D．16  方法一：外框法 【解析】 如图5，延长AE交PK的延长线于点H．设正方形ABCD、正方形RKPF的边长分别为 、 ，则  =  =  =  =  = 16. 故应选D．或许有些学生认为上面求S△DEK的表达式比较麻烦，他们注意到四边形AHKD是一个梯形，这样  ，表达式变得简单多了。可是表面简单的问题有时实质并不一定简单，因为我们将化简得 ，由于已知条件并没有直接告诉 的值，有的同学做到这里“卡壳”了。怎么办呢？笔者提示一下，这里需要利用相似形知识找出，的关系。我们注意到△DCG∽△GPK，则有 ，即 ，∴ ，整理得 .所以可得 .当然只要读者肯动脑筋，求的表达式不止这两种。 方法二：等面积转换法 【解析】 从所给的选项可知△DEK的面积可以求出来，而已知条件仅告诉了正方形BEFG的边长为4，我们可以大胆猜测：△DEK的面积仅与正方形BEFG的面积有关，而与其它两个正方形的面积无关！于是我们应该设法让△DEK与正方形BEFG发生联系！ 联想两平行线之间夹的同底等高的三角形面积相等，于是我们连接DB、GE、FK，如图6所示，则∠DBA=∠GEB=45°，∴DB∥GE．所以△GED与△GEB同底等高．∴  ,同理 ．于是 = =16,这样做是不是十分简捷呢？从以上两种方法可以看出，在解决数学问题的时候，思考问题的角度非常重要！这就要求我们在平时的学习和解题过程中，要注意积累解题经验和技巧，对于不同的数学问题，要注意选准问题的视角，然后“对症下药”，尽可能使复杂的问题简单化！ (二) 求矩形顶点构成的三角形的特殊内角的度数 例2 湖北省襄阳市樊城区2010-2011学年度八(下)数学期末检测卷上有这样一道选择题：如图7，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( ) A.  B.  C. D.  【解析】 在检测过程中，很多学生在这道题上浪费了较多的时间，最后竟然拿量角器量出∠ABC的度数，但不知所以然。就原图（图7）而言，很难直接求出∠ABC的度数。经验告诉我们，可以用“外框法”。于是分别延长AH和EC相交于点D（如图8），再分别延长AG和EB相交于点F，连接AC，此时△ABC就像被矩形ADEF“框了起来”（如图8）。 易证△ADC≌△CEB，所以AC=BC 在△CEB中，BE=1，CE=2，∠E= ，∴AC=BC= 同理可得AB=  所以，在△ABC中，可得  ，∴∠ACB=（当然也可证∠ACD+∠BCE=而得）∴△ABC是等腰直角三角形，可求出∠ABC= ，故选C.三、快乐体验： 1．如图9，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为____，  =_____________ 2．如图10，矩形ABCD中，AB=3  ，AD=6，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGH也是矩形，且EF=2BE，则 =___________ ．(提示：连结BF) 参考文献: 湖北省教学研究室编著的数学八(下)《练习册》 引文：人教网《从最佳答案谈思考问题的角度》 赵国瑞 个人简介：男，39岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。 (责任编辑：admin) |