|
不要忽视反比例函数图象另一支的存在 湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中 谷兴武 张 琴 在反比例函数和一次函数综合应用题中，有一种题型是：一次函数和反比例函数图像的一支相交于两点，而题目给出的图形没有画出反比例函数图像的另一支，致使学生和有的教师容易忽视反比例函数图像另一支的存在，从而造成解题答案不周全的错误． 笔者2008年使用的北京全品教育研究所编写的《全品新教案》上有这样一道题： 例 1 (2005年中考·沈阳)如图1所示，已知直线  与 轴、 轴分别交于点 、 ，与双曲线 分别交于点 、 ，且点坐标为 .（1）分别求直线  与双曲线的解析式；（2）求出点 的坐标；（3）利用图像直接写出当 在什么范围内取何值时， . 解答过程略，看看题目给出的参考答案吧： 【答案】（1）直线：  双曲线： ；（2） ；（3） 对于答案（1）、（2），笔者没有异议，但是第（3）小题所给出的答案，笔者不敢苟同，个人认为是显而易见的错误，笔者征求了本校部分数学教师的意见，大家一致认为，第（3）小题的答案存在考虑问题不全面性的错误。 【错误原因】 在图1中标出 与交点、的横坐标，由于要求，所以、的在轴上的横坐标标记为空心（如图1）；又因，对于而言， ，所以在轴上的原点处也标记为空心（如图1），可以看出，此时的轴被、两点的横坐标和原点O分成了四个范围，从左向右依次是： ，， ， ，依次观察在这四个范围中， 的图象在 上方的很显然的有，可是图1中图像在第四象限的一支没有画出来，但它确确实实存在，所以的图象在上方的取值范围还隐含了一个，也正是这个“隐藏”的答案，往往容易被学生和少部分教师所忽视。而且笔者发现，当一次函数和反比例函数图像相交于两点时，这两个符合条件的取值范围总是不能连续的，它们之间总是被一个不符合题意的取值范围所隔开。【变式】 有的出题者为了把这类题目难度降低，将例1中双曲线  后面添加的条件 改成 ，这样再配合图1，就将双曲线 图像限制在第二象限的一支了，那么例1的第（3）小题的答案又另当别论了。多年来，笔者在讲述这个内容时，注重对这个易错点的提醒，加强对这个知识点的训练。大部分学生掌握的较好，但是总有少部分学生在检测时遇到此类题目还是容易出错。笔者认为这个易错点可以算是个难点吧。 无独有偶。时隔几年，笔者再次发现山西出版集团主管主办的《学习报》的2011年第33期也有类似的错误。原题摘录如下： 例2 （2010年中考·河南，图文有删减）如图2，直线  与反比例函数 的图像交于 两点.（1） 求  的值；（2） 直接写出  时的取值范围. 【参考答案】（1）由题意知  . 反比例函数的解析式为 .又  在的图像上，  直线过 两点， 解得  的取值范围是 【分析】 对于例2所提供的第（2）小题的参考答案，笔者仍然持反对意见，它所犯错误与例1相同。笔者认为：①从图2中看出，反比例函数 的一支位于第一象限，则必有另一支位于第三象限，只是题目没有画出来而已；②直线与反比例函数的图像的两个交点的横坐标和原点把轴分成了四个范围，从左向右依次是： ， ，， ；③例2的第（2）小题要求，可变形为 ，即要求直线的图像在反比例函数的图像的上方。综合以上分析，由图2的图象可知：当或时，笔者基于以上两次在书籍和报刊上遇到同类问题，加之学生和少数教师在这个问题上也易出错，所以才提笔促成此文。 顺便说一下，有少量老师可能会拿题目中的“如图”二字与笔者反驳，笔者认为，“如图”二字只能反映反比例函数图像的一支位于的象限，它不能说明反比例函数图像只有一支。 参考文献: 2008年的北京全品教育研究所编写的《全品新教案》 引 文：山西出版集团主管主办的《学习报》的2011年第33期 个人简介：谷兴武男，39岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。 (责任编辑：admin) |