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“六招”搞定分式方程的检验 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 先看两道解分式方程的题目： (1)  ；(2) 。解：(1)方程两边同乘以  ，得 ﹒解得x=3﹒(2)方程两边同乘以  ，得 ﹒解得x=0﹒方程(1)中未知数的取值范围是  ，方程(2)中未知数的取值范围是 ﹒在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程(1)的解x=3﹒由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因﹒ 虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来﹒那么如何对分式方程进行检验呢？下面向你介绍六招： 第一招 代入验根法 将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根． 例1 方程  的解为 ＿＿．解：方程两边同乘以  ，得 ﹒解得 ﹒检验：把 代入原方程，得左边= = ，右边= =，左边=右边，∴ 原方程的解．点评：运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确． 第二招 比较检验法 令分式方程中各分母等于零，求出使各分母为零的未知数的值，然后与所得的根进行比较，相同的即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒ 例2 解方程  解：方程两边同乘以  ，得 ﹒解得 ．检验：令  =0，得 ；令 =0，得 ．比较，得 是原方程的根﹒点评：比较检验法适合所得根比较复杂的题型． 第三招 公分母检验法 把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒ 例3 解方程  ．解：方程两边同乘以  ，得 ．解得．把 代入，得=1≠0，∴ 是原方程的根．点评：公分母检验法比较简单，因此常被广泛地应用﹒ 第四招 无需检验法 虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法(把同分母分式合并)，从而避免分式方程产生增根，因此用这种方法解分式方程无需验根﹒ 例4 解分式方程  ，可知方程( )A．解为  B．解为 C．解为 D．无解解：原方程即  ， ， ，即1=8．∴原分式方程无解．答案选D．点评：本题若按常规方法会产生增根 ．由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验．除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程 时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设 ，则 ﹒原方程可化为 ﹒即 ﹒0=-2．∴原方程无解﹒第五招 根据取值范围检验 例5 已知x为实数，且  ，那么 的值为( )A．1 B．-3或1 C．3 D．-1或3 解：设  ，原方程变形为 ．即  ．解得 ， ．经检验， ，都是原方程的根．但  ，∴ ．而 不满足，满足．∴  是原方程的根，故应选A．点评：本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”，如果不注意 的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”．第六招 根据题意检验 例6 A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道？ 解：设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道  千米．根据题意，得  ．方程两边同乘  ，得 ．整理，得  ．解得x=-2或x=3．经检验，x=-2或x=3都是原方程的根．由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度，不可能为负数，因此x=-2不合题意，所以x=3． 点评：解分式方程应用题要注意进行“双重”检验：不仅要对方程的解进行检验，还要对题意进行检验，看看方程的解是否符合问题的实际意义． (责任编辑：admin) |