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花瓣面积是多少 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 如图1，正方形ABCD的边长为a，分别以正方形ABCD的四条边为直径作半圆，你能求出四个半圆围成的花瓣的面积吗？或许你会认为这个问题比较简单，观察图形不难发现：四个半圆围成的花瓣的面积等于四个半圆的面积减去正方形ABCD的面积，即两个圆的面积减去正方形ABCD的面积，等于  = ． 图1 上面的问题相对简单，难不住你，下面的问题可就没有那么简单啰： 如图2，正方形ABCD的边长为a，分别以A，B，C，D为圆心，边长a为半径画弧，四条弧两两相交于E，F，G，H，求四条弧围成的花瓣的面积．  图2 图2中的花瓣一共有两朵花瓣组成，每朵花瓣的面积仍然不难求出．不过由于这两朵花瓣有重叠部分，无疑增加了求解难度．到底应该怎样求四条弧围成的花瓣的面积呢？ 分析：  与 围成的花瓣面积为 = ，同理 与 围成的花瓣面积也为．所以四条弧围成的花瓣的面积= -曲四边形EFGH的面积，所以关键是求出曲四边形EFGH的面积． 图3 解：如图3，连结EG、FH交于点O，延长GE交CD于点M．由正方形的对称性易知CM=OM=  ，△COG≌△COF．在Rt△CMG中，GM= = ，CM= ，∴∠CGM=30°．∴∠GCO=∠COM-∠CGM=45°-30°=15°．∴∠GCF=2∠GCO=30°．∴S扇形GCF= = ．又S△COG=S△CMG-S△CMO=  - = ，∴S扇形GCF-S△COG-S△COF=  = = S曲四边形EFGH．∴S曲四边形EFGH=  = ．∴四条弧围成的花瓣的面积= -= ．上述解法的思路是根据“两朵花瓣的面积减去曲四边形EFGH的面积”求解，实际上，我们也可以通过列方程组求解．如图4，设各部分的面积分别为x，y，z，根据“正方形的面积为a2”可得方程4x+4y+z=a2．根据“扇形ABC的面积为  ”可得方程2x+3y+z=．列第三个方程有一定困难．注意到△ABE是一个等边三角形，S拱形AFE= S拱形BHE，于是x+2y+z-S扇形BAE=S扇形BAE-S△ABE，即 ． 图4 解方程组  ，得 ∴4y+z=  =．即四条弧围成的花瓣的面积 ．
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