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滚动问题中弧长的计算

http://www.newdu.com 2024/11/26 09:11:35 人民教育出版社佚名参加讨论

    滚动问题中弧长的计算
    湖北省黄石市下陆中学　陈　勇
    以几何图形的滚动为载体，求几何图形在滚动过程中某点所经过的路线长度的中考试题大量出现，成为中考试题的一大亮点，解答这类试题关键是搞清图形在滚动过程中某点所经过的各段路径，然后逐段求出各段路径的长度，再求出总的路线长度，现对其进行分类解析，供大家参考。
    一、三角形在桌面上滚动
    例1．（河南省中考题）如图，一块含有30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（     ）

    A.12cm      B.10cm      C. 15cm       D.20cmx
    解析：三角板在旋转过程中点A从开始到结束所经过的路径是以点C为圆心，以AC长为半径的圆上的一段弧，这段弧所对的圆心角是120°，由BC=15 cm，∠A=30°,可知AC=30 cm，所以可求得这段路径的长为：=30=20。答案选D。
    二、正方形在直线上滚动
    例2.(黄冈市中考题) 将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是     cm..

    解析：当正方形ABCD滚动一周时，所经过的路径是由三段圆弧组成。第一段是以第一个点C（即第一次滚动时点C的位置）为圆心，以AC长为半径的一段弧，第二段是以第二个D点为圆心，以AD长为半径的一段弧，第三段是以第四个点B为圆心，以AB长为半径的一段弧，因为每次滚过的角度均为90°，所以其弧长均为弧所在的相应的圆的周长的，所以当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是：2×（2××8+2×8+2×8）=16+8.
    三、矩形在直线上滚动
    例3．（济南市中考题）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD在直线上按顺时针方向不滑动的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为       。

    解析：矩形ABCD在滚动过程中，顶点A经过的路线由三段圆弧组成，第一段是以点B为圆心，以AB长为半径的一段弧，第二段是以点C为圆心，以AC长为半径的一段弧，第三段是以点D为圆心，以AD长为半径的一段弧，因为每秒转动的角度均为90°，所以其弧长均为弧所在的相应圆的周长的，所以当滚动3秒后顶点A经过的路线长为： ×（2×8+2×+2×6）=7+5=12。
    四、圆在折线上滚动
    例4．(芜湖市中考题)一个小朋友在粗糙不滑动的“Z”字型平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

解析：如图所示，圆盘在滚动过程中圆心经过的路线由四段组成，第一段：线段OO，第二段：线段OO，第三段：O到O的一段圆弧，第四段：线段OO。

    由点O分别作OE⊥AB，OF⊥BC，可得∠OBE=∠OBF=60°，
    在Rt△OBE中，由BE=OE·cot60°= （cm），所以， OO=AB-BE =60-（cm）；
    由BE = BF 得，OO=BC-BF=40- （cm）；
    由∠OCO=360°-120°-2×90°=60°，可求得圆弧OO的长 ==（cm）；OO=CD=40 （cm）。
    所以，圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的长度是
    （60-）+（40- ）++40=140-+（cm）。 (责任编辑：admin)

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