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关于四边形剪拼的探究

http://www.newdu.com 2024/11/26 10:11:41 人民教育出版社 佚名 参加讨论


    关于四边形剪拼的探究
    湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　张昌林
    上小学的赵亮放学回家说：“今天的作业是剪图形，老师让剪三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形…，还让把剪好的图形拼成新的图形．”
    在帮孩子完成作业的同时，我发现剪拼图形也挺有意思的做了一些研究，下面拿出来与大家分享．
     
    注　这里讲的“剪”，只能沿直线剪；这里讲的“拼”，指图形拼完后不能有重叠部分，也不能有剩余部分．
    １．平行四边形剪拼成一个三角形．
    用“面积不变”的思想，平行四边形变三角形有两大类方法，每一大类都有无数种拼法．如图3，图7．
    1.1一般的方法：
    如图１，找出ＡＢ边中点Ｅ，作射线DA、射线CE，两条射线交与点D′．易证△AED′≌△BEC,将△BEC绕点Ｅ旋转180°，就和△AED′重合．这样将平行四边形ABCD沿CE剪开就可以拼成一个三角形（△DCD′）．
    如图２，也可以在ＢＣ边上找中点，作法同上．
    　　
    图１　　　　　　　图２
    那么是否只有这两种做法呢？当然不是，它的做法有无数种呀！下面我们来看一看．
    1.２以动态的观点看问题：
    如图３，找出AD、BC的中点G、H,而D′点是AB上任意一点（动点），作射线D′G和射线D′H，分别交DC所在的直线于E、F，易证△DGE≌AGD′,△HBD′≌△HCF, 这样平行四边形ABCD就可以拼成一个三角形（△EFD′）．
    当点D′在AB上移动时，产生的△EFD′也在变化，所以也就产生无数个三角形△EFD′也就有无数种剪拼方法．
    　　
    图３　　　　　　　　　　　　图４
    　　
    图５　　　　　　　　　　　　　　　图６
    1.2.1当点D′在AB上运动到图4位置时，△EFD′为锐角三角形．
    1.2.2当点D′在AB上运动到图5位置时，△EFD′为直角三角形．
    1.2.3当点D′在AB上运动到图6位置时，△EFD′为等腰(钝角)三角形．
    1.2.4当点D′在AB上运动时，△EFD′能否为等边三角形？若不能什么条件下能？
    1.３同样以动态的观点看问题，又有以下方法：
    该方法实际上是1.1方法的一般化．
    利用剪拼后“面积不变”Ｓ=ah＝a（2h）还可以有如图７作法．D′点是AB上任意一点（动点），过D′点作D′A′平行且等于DA，易证△EAD≌ED′A′,△FA′D′≌△FCB, 这样平行四边形ABCD就可以拼成一个三角形（△DCA′）．
    当点D′在AB上移动时，产生的△DCA′也在变化，所以也就产生无数个三角形△DCA′也就有无数种剪拼方法．
    同理，也可以将动点D′选在BC(或AD)上，方法原理同上面一样．
    
    图７
    ２．平行四边形剪拼成一个特殊四边形．
    2.1平行四边形剪拼成长方形．
    如图8,过A点作AF⊥DC与F．易证Rt△ADF≌Rt△BCE,将△ADF剪下平移到△BCE的位置就拼成了长方形．
    
    图８
    2.2平行四边形剪拼成正方形．
    平行四边形剪拼成正方形的过程较复杂，要先将平行四边形拼成长方形，再把长方形拼成正方形．下面通过图像来说明怎么把长方形剪拼成正方形的方法．
    用“面积不变”的思路，我们可以将给定的矩形剪拼成正方形，如图９所示．请大家探讨有没有更好的方法．
    
    2.3平行四边形剪拼成梯形．
    同样以动态的观点看问题，有下述方法．
    用“面积不变”的思路平行四边形变梯形的方法．如图10所示．
    点E为BC的中点，F为AB上一动点（Ｆ不与A、B两点重合，思考为什么？），易证△FBE≌△GCE,将△FBE剪下使它和△GCE重合即拼成了梯形．（因为是动态的所以有无数种剪拼成梯形的方法．）
    2.3.1当F点移动到A点位置时可拼成为三角形即1.1的情况．
    2.3.2当F点移动到图11位置时可拼成为直角梯形．
    2.3.3当F点移动到图12位置时可拼成为等腰梯形．
    2.3.4如图13，另外以点E为AB的中点，G为BC上一动点，G在BC上运动（不包括B、C两点），原理同上也可以剪拼梯形．因为G在BC上运动，所以有无数种剪拼成梯形的方法．特别的当Ｇ运动到图13位置时，能剪拼成直角梯形．
    
    2.４平行四边形剪拼成任意四边形．
    如图14，在平行四边形ABCD的AC边上任取一点E（或者说点E是AC上一动点）,过Ｅ点作AB的平行线，交BD于点F．在线段EF上任取两点G、H（或者说点G、H是线段EF上两个动点，不能到点E、点F的位置）．分别过G、H作AC的平行线，交CD于K,交AB于L，作H点关于AB的反射点H′, 作G点关于CD的反射点G′,易证图中的相关三角形全等，从而得以剪拼成功．（因为是动态的所以有无数种剪拼成梯形的方法．）
    
    3．任意四边形剪拼成平行四边形的方法．
    将2.4的过程反过来则就成了将任意四边形剪拼成平行四边形的方法了．
    ４．任意四边形剪拼成长方形的方法．
    只需要图14中，GG′⊥EF,　HH′⊥EF剪拼的结果就是矩形．
    ５．梯形的剪拼．
    5.1梯形剪拼成平行四边形．
    如图15,点H是BC上的中点，过点H作AD的平行线交AB的延长线于E,交DC于G,易证△HEB≌△HGC, 将△HGC绕H旋转180°到△HEB的位置，就剪拼成了平行四边形．同理可以像图16那样剪拼．
    
    5.2一般梯形剪拼成等腰梯形的方法．
    如图17，作梯形中位线的中垂线，沿中垂线将梯形对折（作点D关于中垂线的对称点G）H为腰BC的中点，射线GH交AB的延长线于E点，易证△BEH≌△CGH,AD=EG从而可以剪拼成功．
    同理，图18那样也可以．
    
    5.3梯形变长方形．
    可以先将梯形剪拼成平行四边形，再将平行四边形剪拼成长方形．或者用前面（４．任意四边形剪拼成长方形的方法．）讲的方法．
    5.4特殊梯形的特殊变化．
    例如：底角都是60°的等腰梯形变等边三角形．这要有特殊的方法，有兴趣大家可以研究一下．
    
    如图：从图19到图24是剪拼的过程，供大家研究．
    　６．两个正方形剪拼成一个正方形．
    这个问题简称“两方拼一方”，人教版八年级课本上有这样一个阅读．方法不止一种，下面我写几种供大家欣赏．
    图25中，边长分别为a、b两个正方形连成一体，你能否在上面划两条直线，沿线把图形分成几块，然后拼成一个正方形而无剩余．
    
    6.1方法一：
    用剪拼后“面积不变”的方法，可知剪拼后的正方形边长为，那么只需要在图中找到两条这样的线剪开就可以了．如图26到图32是剪拼过程示意图．
    以D点为圆心小正方形的边长b为半径作圆，交DC于H,如图27，则AH=FH=,易证图28中甲、乙两个三角形和图29中甲、乙两个三角形全等．将图28中的甲、乙放到图29的位置即完成了剪拼，图31是完成剪拼后的图形．（不做过多论述，看图．）
    
    6.2方法二：
    如图32,易证DG=,易证图33中的甲、乙、丙、丁分别和图34中的甲、乙、丙、丁全等．将图33中的甲、乙、丙、丁分别放到图34的位置即完成了剪拼，图35是完成剪拼后的图形．（不做过多论述，看图．）
    
    6.3方法三：请大家看图36，不做详细介绍．
    
    请大家继续探讨其它方法．
    在看似简单的剪拼问题中，充满了数学思考和智慧，亲爱的读者朋友你会了吗？ (责任编辑：admin)
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