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从“一道怪题”谈“无关”型问题


    从“一道怪题”谈“无关”型问题
    湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞
    在美国有一道叫做“国王是个小气鬼”的怪题:蓬蓬国王为了获得贫穷老百姓的支持,图一个“乐善好施”的好名声,决定施舍每个男人1美元,每个女人40美分(1美元等于100美分),但他又不想太破费.于是,这位陛下盘算来盘算去,最后想出了一个妙法,决定将他的直升飞机在正午12时在一个贫困的山村着陆.因为他十分清楚,在那个时候,村庄里有60%的男人都外出打猎去了.该村庄共有成年人口3085人,儿童忽略不计,女性比男性多.请问,这位“精打细算”的国王要施舍掉多少钱?
    山村里究竟有多少男人,多少女人,题目没有说明,条件残缺不全,这道题能做吗?
    假定村庄里有1000个男人,因为60%的人都打猎去了,所以国王只能碰到400个男人,再加上料理家务的2085个女人,所以国王要施舍的钱,应当是1×400+0.4×2085=400+834=1234(美元).如果村庄里只有500个男人,那么国王能碰到的男人只有500×(1-0.6)=200(人),他的开销应是1×200+0.4×2585=1234(美元).假设这个村庄里一个男人也没有,国王碰到的全是女人,他的施舍支出竟然还是1234美元!三种情况下所得答数竟然完全一样!
    这真是一道怪题!试试看用所学的整式知识能不能揭穿这道题的怪异之处.设村庄里有男人x人,那么女人有(3085-x)人,国王施舍的钱数为:(1-0.6)x+0.4(3085-x)=0.4x+1234-0.4x=1234(美元).原来国王施舍的钱数与村庄里的男人数无关!
    上面的怪题实际是一道“无关”型问题.所谓“无关”型问题,就是某一整式的值与其所含字母或部分字母无关的问题,处理这类“无关”型的问题时,只要能灵活运用整式加减的运算法则,就能使问题正确获解.下面举例说明:
    一、求值型
    例1  已知:A=2x2+3xy-2x-1,B=-x2+xy-1,且3A+6B的值与x无关,求y的值.
    解:因为3A+6B=3(2x2+3xy-2x-1)+6(-x2+xy-1)=15xy-6x-9=(15y-6)x-9.
    而3A+6B的值与x无关,所以15y-6=0,即y=0.4.
    说明:如果已知式子与某个字母的取值无关,那么这个字母的系数为0,从而列出方程求解.
    二、说理型
    例2  有这样一道数学题目“当a=2,b=-2时,求多项式3a3b3-a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3的值”,甲同学做题时把a=2抄错成a=-2,乙同学没抄错题,但他们得出的结果恰好一样,请问这是怎么回事儿?
    解:因为3a3b3-a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3
    =3a3b3-a2b+b-4a3b3+a2b+b2+a3b3+a2b-2b2+3=-b2+b+3,
    可见含字母a的项都已消去,即这个多项式的值与a的取值无关.
    所以甲同学做题时把a=2抄错成a=-2,不会影响计算结果.
    事实上,无论甲同学把a错抄成什么数,都不会影响计算结果.
    说明:这种抄错数字又使结果正确的问题,通常情况下都说明原式的化简结果与这个字母的取值无关,或与抄错的数字符号无关(例设原式的化简结果是一个仅含有a2的式子)等等.
    三、应用型
    例3  “蓝星电脑”店有A型电脑和B型电脑共120台,A型电脑每台4000元,B型电脑每台2520元.我市东坡中学购买了全部B型电脑和部分A型电脑.经过核算后发现应付款的总数与A型电脑的数目无关.则购买部分A型电脑数是A型电脑总数的百分之几?各买了多少台?
    解:“蓝星电脑”店有A型电脑x台,则有B型电脑(120-x)台,东坡中学购买了A型电脑的a%,则应付总款为:4000··x+2520(120-x)
    化简,得302400+(40a-2520)x
    ∵总付款与x无关,即x的系数应为0,
    所以40a-2520=0,解得a=63,即东坡中学购买了A型电脑总数的63%.
    因为63% x为整数且0<x<120,所以x=100,63%x=63%×100=63.
    120-x=120-100=20.
    所以东坡中学购买了A型电脑的63%,A型电脑共有100台买了63台,B型电脑买了20台.
    说明:本题是一道“总值”与“某个量”无关的问题,与“某量”无关,设“某量”为,合并同类项以后这个字母x的系数必为0.
    练习:1.如果关于字母x的二次多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x的取值无关,则m=___,n=___.
    2.在解题目“当x=0.28,y=36时,求6(x2-xy+2y2)-3(2x2-2xy-1)-12y2+2008的值”时,聪聪认为xy只要任取一对值,原式都有相同的结果.你认为他说的有道理吗?请说明理由.
    3.为了鼓励在“我为玉树献爱心”的演讲比赛中获奖的同学,学校购买了甲、乙两种钢笔共35支,其中甲种钢笔每支24元,乙种钢笔每支10.20元,为了奖励各类竞赛的获胜者,把全部乙种钢笔和若干支甲种钢笔作为奖品发给学生,若发给学生奖品的钱数与学校购买的甲种钢笔总数目无关,那么甲、乙两种钢笔各买了多少支?实发了多少支?
    答案:
    1.m=1,n=3.
    2.聪聪的说法有道理.原式的化简结果为2010,与xy的取值无关,因此xy只要任取一对值,原式的结果都相同.
    3.甲种钢笔买了20支,实发了17支,乙种钢笔买了15支,实发了15支. (责任编辑:admin)