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拿破仑定理的特例


    拿破仑定理的特例
    安徽来安县相官职中 徐长海
    拿破仑是法兰西第一帝国的皇帝(1804-1814年在位),他不仅是军事家、政治家,而且还非常喜欢研究数学,他发现了以下著名的定理:
    拿破仑定理若在任意三角形的各边向外(内)作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。
    该定理的证明,对于我们初中同学来说颇有难度,本文将其弱化为特例,以便我们初中同学证明。
    如图,C为线段AB上一点,△ACE、△BCF、△ABD是正三角形,分别是它们的中心。求证:是正三角形。
    
    证明延长AE、BF交于D′,连结,延长交于。则是正△ABD′的中心,由对称性知,四边形是菱形。连结,由题意知,是正三角形。设AC=a,BC=b,则可算得:
    
    故,则可证得:
    ,因而,故△O1O2O3是正三角形。
    从上面特例中,同学们应知道很多数字问题就是从特殊到一般,再由一般到特殊的这样转化。即将特殊问题一般化,对一般化问题可以特殊化后研究,希望同学们注意这种思想方法。
    选自《中学生数学》期刊2001年11月下
    完全数的自白
    (福建晋江市内坑中学)姚金红
    我叫做“完全数”,是“自然数家族”中忠实的一员,我的真因子之和“完完全全”地等于我。6是“完全数族”中的“小妹妹”,她是唯一的一位完全数。你看,她的真因子1、2、3具有1+2+3=6这种完全数所具有的特征。比起孙大圣,我毫不逊色,摇身一变,面目全非,等会儿听我慢慢道来。
    我也有难言之隐,就是我的家族“人丁”不旺。二位的完全数只有28,三位的完全数只有496,四位的完全数只有8128。古希腊数学家欧几里德是我最真诚的朋友,早在公元前300年在他的《几何原本》中就为我们设计了“完全数公式”:“如果是一个质数,则一定是一个完全数。”尽管如此,寻找完全数还是十分艰难的。1456年,人们才找到了我的第五个同胞33550336;19世纪才找到了第九个同胞,它有37位;至1952年,人们已找到了我的12个同胞。我真诚地祝贺电子计算机的诞生,由于她的帮忙,使我的同胞数量加倍。到目前为止,记录在案的完全数家族的“人丁”共有24个,而且都是偶完全数。至于是否存在奇完全数,这个问题至今仍是个“谜”,这个谜使许多科学家彻夜未眠。
    本家族个个本领非凡,猪八戒的“三十六变”,孙悟空的“七十二变”,在我们看来,也不过小戏法而已。你看,我们都变成一些连续自然数的和。
    6=1+2+3;
    28=1+2+3+4+5+67;
    496=1+2+3+...+31;
    8128=1+2+3+...+127;
    ......
    你瞧,我们又变成2的一些连续自然数次幂之和:
    
    再看,我们又变成从1开始的边疆奇数的三次方和:
    
    同学们可别以为我们的本领只有这些,再露一手,让你见识见识;本家族的每一个同胞,它的所有因子的倒数之和都等于2;
    
    同学们,你说我奇不奇,美不美?
    选自《中学生数学》2001年12月下
    华罗庚的退步解题方法
    (江苏省盐城市城区永丰中学)费克翔
    我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭,从小体弱多病,但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求,终于成为一代数学宗师。
    少年时期的华罗庚就特别爱好数学,但数学成绩并不突出。19岁那年,一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。从此在熊庆来先生的引导下,走上了研究数学的道路。晚年为了国家经济建设,把纯粹数学推广应用到工农业生产中,为祖国建设事业奋斗终生!
    华爷爷悉心栽培年轻一代,让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出,工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏:
    有位老师,想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法:事先准备好3顶白帽子,2顶黑帽子,让他们看到,然后,叫他们闭上眼睛,分别给戴上帽子,藏起剩下的2顶帽子,最后,叫他们睁开眼,看着别人的帽子,说出自己所戴帽子的颜色。
    3个学生互相看了看,都踌躇了一会,并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
    聪明的小读者,想想看,他们是怎么知道帽子颜色的呢?“
    为了解决上面的伺题,我们先考虑“2人1顶黑帽,2顶白帽”问题。因为,黑帽只有1顶,我戴了,对方立刻会说自己戴的是白帽。但他踌躇了一会,可见我戴的是白帽。
    这样,“3人2顶黑帽,3顶白帽”的问题也就容易解决了。假设我戴的是黑帽子,则他们2人就变成“2人1顶黑帽,2顶白帽”问题,他们可以立刻回答出来,但他们都踌躇了一会,这就说明,我戴的是白帽子,3人经过同样的思考,于是,都推出自己戴的是白帽子。
    看到这里。同学们可能会拍手称妙吧。后来,华爷爷还将原来的问题复杂化,“n个人,n-1顶黑帽子,若干(不少于n)顶白帽子”的问题怎样解决呢?运用同样的方法,便可迎刃而解。他并告诫我们:复杂的问题要善于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窃。
    选自《中学生数学》期刊2001年8月下 (责任编辑:admin)