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走进趣味横生的方案设计大园地


    走进趣味横生的方案设计大园地
    山东沂源县徐家庄中心学校 左效平
    
    方案设计问题是近年中考中一个比较稳定的题型.这类题型的主要特点是:知识综合性强,思想方法灵活,密切联系生活,注重人文背景.通过解题既培养同学们信息提炼能力,知识应用能力,更重要的是锻炼同学们解决问题的能力,真正将书本知识回归生活,培养了同学们用数学的能力.下面就结合2011年的考题,向同学们展播一下方案设计问题,请同学们欣赏!
    展播一:改善宜居环境,选方案绿化,美化特定区域
    例1 ( 2011重庆江津) 在“五个重庆”建设中,为了提高市民的宜居环境,某区规划修建一个文化广场(平面图形如图1所示),其中四边形ABCD是矩形,分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米,高矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注:取π=3.14)
    (1)试用含x的代数式表示;
    (2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元;
    ①设该工程的总造价为W元,求W关于x的函数关系式;
    ②若该工程政府投入1千万元,问能否完成该工程的建设任务?若能,请列出设计方案,若不能,请说明理由?
    ③若该工程在政府投入1千万元的基础上,又增加企业募捐资金64.82万元,但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二,且建设广场恰好用完所有资金,问:能还完成该工程的建设任务?若能,请列出所有可能的设计方案,若不能,请说明理由.
    
     
    分析:解答时,要正确理解周长的意义,才能给出正确的表示;其次,就是将问题转化成不等式模型,一元二次方程的模型这是解题的一个核心环节.体现了数学中的不等式的思想,方程的思想和配方的思想.
    解:(1)广场的周长是四段弧组成,而这四段弧恰好是直径为AB的圆的周长和直径为BC的圆的周长,因为AB=y,BC=x,所以πx+πy=628.因为π=3.14,所以3.14x+3.14y=628,所以x+y=200,所以y=200-x;
    (2)①矩形的面积为xy,圆AB的面积为π×,圆BC的面积为π×
    所以W=428xy+400×π×+400×π×=428xy+400×π×+400×π×=428x×(200-x)+400×3.14×+400×3.14×=200-40000x+12560000;
     
    即w=200-40000x+12560000;
    ②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务,其理由如下:
     
    由①知   W=200+1.056×,所以不能;
    ③由题意得  x≤y,即x≤ (200-x), 解得 :x≤80,所以0≤x≤80.
     
    又根据题意得: W=200+1.056×=+6.842×,整理得=441,    解之得(舍去,请你写出理由) ,所以只能取x=79, 则y=200-79=121,所以设计的方案是: AB长为121米,BC长为79米,再分别以各边为直径向外作半圆.
    展播二 土特产走进农产品博览会,选方案节约运费
    例2 我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇,为了让这些珍宝走出大山,走向世界,州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨,参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产,且每辆车必须装满.根据下表信息,解答问题.
    
    (1)设A型汽车安排x辆,B 型汽车安排y辆,求y与x之间的函数关系式.
    (2)如果三种型号的汽车都不少于4辆,车辆安排有几种方案?并写出每种方案.
    (3)为节约运费,应采用(2)中哪种方案?并求出最少运费.
    分析:看懂图表所展示的信息,从中综合处理所得到的信息,建立起正确的等式,或者是不等式组,是解题的关键所在,注意当问题用来揭示生活实际意义时,一定要保证生活意义的成立,在这里暗含的一个条件就是车辆数必须是整数.
    这里的两个重要等式是:A型车辆数+B型车辆数+C型车辆数=21,A型车辆载重量+B型车辆载重量+C型车辆载重量=120.含的数学思想是方程的思想,不等式思想和函数的思想,特别是利用一次函数的性质确定最值,是方案设计问题中经常用到的知识点,一定要重视,并灵活运用.
    解:⑴ 因为A型汽车安排x辆,一辆车装载苦荞茶2吨,青花椒2吨,所以x辆车装苦荞茶2x吨,青花椒2x吨,B 型汽车安排y辆,一辆车装载苦荞茶4吨,野生蘑菇2吨,所以y辆车装载苦荞茶4y吨,野生蘑菇2y吨,C种车的数量为(21-x-y),一辆车装载青花椒1吨,野生蘑菇6吨,所以(21-x-y)辆车装载青花椒(21-x-y)吨,野生蘑菇6(21-x-y)吨,所以4x+6y+7(21-x-y)=120.整理得:
    y=-3x+27;
    (2)根据题意,得:,得
    解得: 5≤x≤ .  因为x为正整数,所以x=5或x=6或x=7,故车辆安排有三种方案,即:方案一:A型车5辆,B型车12辆,C型车4辆;
    方案二:A型车6辆,B型车9辆,C型车6辆;
    方案三:A型车7辆,B型车6辆,C型车8辆;
    (3)设总运费为W元,则W=1500x+1800(-3x+27)+2000(21-x+3x-27)=100x+36600,因为k=100大于0,所以W随x的增大而增大,所以当x=5时,W的值最小,且为W=37100,所以第一种方案最节约运费.
    答:为节约运费,应采用 ⑵中方案一,最少运费为37100元.  
    展播三 战自然灾害,选方案使得调水量最小
    例3 (2011湖北黄冈)今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水15万吨,乙地13万吨.现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱.从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲地60千米,到乙地45千米.
    ⑴设从A水库调往甲地的水量为x万吨,完成下表
    
    ⑵请设计一个调运方案,使水的调运量尽可能小.(调运量=调运水的重量×调运的距离,单位:万吨?千米)
    分析:要想确定出最小的方案,同学们就必须理清思路,确定好一次函数的解析式和不等式,界定好x的范围.解答时不妨采用如图4所示的图示揭示信息:
    
    解:⑴如图5所示:
    
    ⑵设总调运量为y万吨,则y=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)=5x+1275.
    因为,解得1≤x≤14,因为y=5x+1275中k=5>0,所以y随x的增大而增大,且x是整数,所以当x=1时,y取得最小值,且为y=5+1275=1280,所以调水量最小的方案是:把A水库的水调往调往甲地1万吨,调往乙地13万吨,把B水库的水调往调往甲地14万吨最节省.
    展播四 园艺造型,选方案使得成本最低
    例4 (2011内蒙古乌兰察布),某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆,乙种花卉4盆;搭配一个B种造型需甲种花卉5盆,乙种花卉9盆.
    (l)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来;
    (2)若搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一个B种造型的成本是360元,试说明(1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元?
    分析:解答这类问题时,需要把握好三个要领:
    (1)建立一个等式:A造型数+B造型数=50;
    (2)明确一个比例:1个A=8甲+4乙,一个B=5甲+9乙,
    (3)建立两个不等式:A造型数甲+B造型数甲≤总甲,A造型数乙+B造型数乙≤总乙.
    其次就是要自己理清花盆数一定是整数,这是一个隐含条件.
    这里要学会主动设元引入方程的思想,后与不等式思想联袂完成问题解答.
    解:⑴设搭建A种园艺造型x个,则搭建B种园艺造型(50-x)个.
    根据题意得:,解得:31≤x≤33,因为x是整数,所以x=31,或x=32,或x=33,所以共有三种方案.分别是第一种方案:A造型31个,B造型19个;第二种方案:A造型32个,B造型18个;第三种方案:A造型33个,B造型17个;
    ⑵第一种方案的造价为:31×200+19×360=130400(元),第二种方案的造价为:32×200+18×360=12880(元),第三种方案的造价为:33×200+17×360=12720(元),所以应该搭配A种33个,B种17个最省钱,成本:33×200+17×360=12720(元)
    专题训练
     
    1(2011重庆市潼南)潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们种植了A、B两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表:
    

    种植户
    

    种植A类蔬菜面积
    (单位:亩
    

    种植B类蔬菜面积
    (单位:亩)
    

    总收入
    (单位:元)
    

    甲
    

    3
    

    1
    

    12500
    

    乙
    

    2
    

    3
    

    16500
    

    说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等.
    ⑴ 求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?
    ⑵ 某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜,为了使总收入不低于63000元,且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有租地方案.
    2 (2011贵州安顺)某班到毕业时共结余班费1800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品.已知每件T恤比每本影集贵9元,用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集.
    ⑴求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元?
    ⑵有几种购买T恤和影集的方案?
    3.(2011山东枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
    (1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
    (2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
    4. (2011四川广安)广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.
    (1)求平均每次下调的百分率.
    (2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?
    参考答案:
     
    1.解:(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元,y元.
    由题意得:     ,  解得:
    答:A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元,3500元.
    (2)设用来种植A类蔬菜的面积a亩,则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a)亩.
    由题意得:     ,解得:10<a≤14.
    因为a取整数为:11、12、13、14.所以租地方案为:
    

    类别
    

    种植面积   单位:(亩)
    

    A
    

    11
    

    12
    

    13
    

    14
    

    B
    

    9
    

    8
    

    7
    

    6
    

    2.(1)设T恤和影集的价格分别为x元和y元.则
      解得
    答:T恤和影集的价格分别为35元和26元.
    (2)设购买T恤件,则购买影集 (50-) 本,则
    解得因为为正整数,所以= 23,24,25,即有三种方案.第一种方案:购T恤23件,影集27本;第二种方案:购T恤24件,影集26本;第三种方案:购T恤25件,影集25本.
    3.解:(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得 
        ,解这个不等式组,得18≤x≤20.由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20. 当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.
    故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.
    (2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元);方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元);方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元).故方案一费用最低,最低费用是22320元.   
    4.解:(1)设平均每次下调的百分率x,则 6000(1x2=4860,解得:x1=0.1    x2=1.9(舍去)所以平均每次下调的百分率10%.
    (2)方案①可优惠:4860×100×(10.98)=9720元,方案②可优惠:100×80=8000元
    所以方案①更优惠.
    作者简介:左效平,中学数学高级教师,山东省沂源县徐家庄中心学校副校长,擅长解题方法的探究和学法指导的归纳总结,在《中学生数理化》《中学数学杂志》《数学周报》《数理报》《数理天地》《中学生》等杂志,报刊刊发论文近百篇,在“希望杯”数学竞赛中获得命题奖二等奖,沂源县数学中心教研组成员。 (责任编辑:admin)