走进趣味横生的方案设计大园地
山东沂源县徐家庄中心学校 左效平
方案设计问题是近年中考中一个比较稳定的题型．这类题型的主要特点是：知识综合性强，思想方法灵活，密切联系生活，注重人文背景．通过解题既培养同学们信息提炼能力，知识应用能力，更重要的是锻炼同学们解决问题的能力，真正将书本知识回归生活，培养了同学们用数学的能力．下面就结合2011年的考题，向同学们展播一下方案设计问题，请同学们欣赏！
展播一：改善宜居环境，选方案绿化，美化特定区域
例1 （ 2011重庆江津） 在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场(平面图形如图１所示)，其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，高矩形的边长AB=y米，BC=x米.(注:取π=3.14)
(1)试用含x的代数式表示；
(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？
③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能还完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．
分析：解答时，要正确理解周长的意义，才能给出正确的表示；其次，就是将问题转化成不等式模型，一元二次方程的模型这是解题的一个核心环节．体现了数学中的不等式的思想，方程的思想和配方的思想．
解：（１）广场的周长是四段弧组成，而这四段弧恰好是直径为ＡＢ的圆的周长和直径为ＢＣ的圆的周长，因为AB=y，BC=x，所以πｘ+πｙ＝６２８.因为π＝３.１４，所以３.１４ｘ+３.１４ｙ＝６２８，所以ｘ+ｙ＝２００，所以ｙ＝２００－ｘ；
（２）①矩形的面积为ｘｙ，圆ＡＢ的面积为π× ，圆ＢＣ的面积为π× ，
所以W＝４２８ｘｙ+４００×π×+４００×π×＝４２８ｘｙ+４００×π× +４００×π×＝４２８ｘ×（２００－ｘ）+４００×３.１４×+４００×３.１４×＝２００ －４００００ｘ+１２５６００００；
即ｗ＝２００－４００００ｘ+１２５６００００；
②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务，其理由如下：
由①知 W=200 +1.056× ＞，所以不能；
③由题意得 x≤ y，即x≤ (200-x)， 解得 ：x≤80，所以0≤x≤80.
又根据题意得： W=200+1.056×=+6.842× ，整理得=441， 解之得 （舍去，请你写出理由） ，所以只能取x=79， 则y=200-79=121，所以设计的方案是： AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆．
展播二 土特产走进农产品博览会，选方案节约运费
例２ 我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会．现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满．根据下表信息，解答问题．
（１）设A型汽车安排ｘ辆，B 型汽车安排ｙ辆，求ｙ与ｘ之间的函数关系式．
（２）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．
（３）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费．
分析：看懂图表所展示的信息，从中综合处理所得到的信息，建立起正确的等式，或者是不等式组，是解题的关键所在，注意当问题用来揭示生活实际意义时，一定要保证生活意义的成立，在这里暗含的一个条件就是车辆数必须是整数．
这里的两个重要等式是：Ａ型车辆数+Ｂ型车辆数+Ｃ型车辆数＝２１，Ａ型车辆载重量+Ｂ型车辆载重量+Ｃ型车辆载重量＝１２０.含的数学思想是方程的思想，不等式思想和函数的思想，特别是利用一次函数的性质确定最值，是方案设计问题中经常用到的知识点，一定要重视，并灵活运用．
解：⑴  因为A型汽车安排ｘ辆，一辆车装载苦荞茶２吨，青花椒２吨，所以ｘ辆车装苦荞茶２ｘ吨，青花椒２ｘ吨，B 型汽车安排ｙ辆，一辆车装载苦荞茶４吨，野生蘑菇２吨，所以ｙ辆车装载苦荞茶４ｙ吨，野生蘑菇２ｙ吨，Ｃ种车的数量为（２１－ｘ－ｙ），一辆车装载青花椒１吨，野生蘑菇６吨，所以（２１－ｘ－ｙ）辆车装载青花椒（２１－ｘ－ｙ）吨，野生蘑菇６（２１－ｘ－ｙ）吨，所以４ｘ+６ｙ+７（２１－ｘ－ｙ）＝１２０.整理得：
ｙ＝－３ｘ+２７；
（２）根据题意，得： ，得 ，
解得： ５≤ｘ≤ ． 因为ｘ为正整数，所以ｘ＝５或ｘ＝６或ｘ＝７，故车辆安排有三种方案，即：方案一:Ａ型车５辆，Ｂ型车１２辆，Ｃ型车４辆；
方案二:Ａ型车６辆，Ｂ型车９辆，Ｃ型车６辆；
方案三:Ａ型车７辆，Ｂ型车６辆，Ｃ型车８辆；
（３）设总运费为Ｗ元，则Ｗ＝１５００ｘ+１８００（－３ｘ+２７）+２０００（２１－ｘ+３ｘ－２７）＝１００ｘ+３６６００，因为ｋ＝１００大于０，所以Ｗ随ｘ的增大而增大，所以当ｘ＝５时，Ｗ的值最小，且为Ｗ＝３７１００，所以第一种方案最节约运费．
答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为37100元．
展播三 战自然灾害，选方案使得调水量最小
例３ （2011湖北黄冈）今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．
⑴设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表
⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨?千米）
分析：要想确定出最小的方案，同学们就必须理清思路，确定好一次函数的解析式和不等式，界定好ｘ的范围．解答时不妨采用如图４所示的图示揭示信息：
解：⑴如图５所示：
⑵设总调运量为ｙ万吨，则ｙ＝５０ｘ+３０（１４－ｘ）+６０（１５－ｘ）+４５（ｘ－１）＝５ｘ+１２７５.
因为 ，解得１≤ｘ≤１４，因为ｙ＝５ｘ+１２７５中ｋ＝５＞０，所以ｙ随ｘ的增大而增大，且ｘ是整数，所以当ｘ＝１时，ｙ取得最小值，且为ｙ＝５+１２７５＝１２８０，所以调水量最小的方案是：把Ａ水库的水调往调往甲地１万吨，调往乙地１３万吨，把Ｂ水库的水调往调往甲地１４万吨最节省．
展播四 园艺造型，选方案使得成本最低
例４ （2011内蒙古乌兰察布），某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．
(l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？
分析：解答这类问题时，需要把握好三个要领：
（１）建立一个等式：Ａ造型数+Ｂ造型数＝５０；
（２）明确一个比例：１个Ａ＝８甲+４乙，一个Ｂ＝５甲+９乙，
（３）建立两个不等式：Ａ造型数甲+Ｂ造型数甲≤总甲，Ａ造型数乙+Ｂ造型数乙≤总乙．
其次就是要自己理清花盆数一定是整数，这是一个隐含条件．
这里要学会主动设元引入方程的思想，后与不等式思想联袂完成问题解答．
解：⑴设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个.
根据题意得： ，解得：3１≤ｘ≤33，因为x是整数，所以x=31，或x=32，或x=33，所以共有三种方案．分别是第一种方案：A造型31个，B造型19个；第二种方案：A造型32个，B造型18个；第三种方案：A造型33个，B造型17个；
⑵第一种方案的造价为：31×200+19×360=130400（元），第二种方案的造价为：32×200+18×360=12880（元），第三种方案的造价为：33×200+17×360=12720（元），所以应该搭配A种33个，B种17个最省钱，成本：33×200+17×360=12720（元）
专题训练
1（2011重庆市潼南）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：
种植户
|
种植A类蔬菜面积
（单位：亩 ）
|
种植B类蔬菜面积
（单位：亩）
|
总收入
（单位：元）
|
甲
|
3
|
1
|
12500
|
乙
|
2
|
3
|
16500
|
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．
⑴ 求A、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？
⑵ 某种植户准备租20亩地用来种植A、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案.
2 （2011贵州安顺）某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品．已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．
⑴求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？
⑵有几种购买T恤和影集的方案？
3.（2011山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书 籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
4. （2011四川广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
参考答案：
1.解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．
由题意得： ， 解得： ，
答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．
（2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a）亩．
由题意得： ，解得：10＜a≤14.
因为a取整数为：11、12、13、14.所以租地方案为：
类别
|
种植面积 单位：（亩）
|
A
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11
|
12
|
13
|
14
|
B
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9
|
8
|
7
|
6
|
2.（1）设T恤和影集的价格分别为x元和y元．则
 解得
答：T恤和影集的价格分别为35元和26元．
（2）设购买T恤 件，则购买影集 (50-) 本，则 ，
解得 ，因为为正整数，所以= 23，24，25，即有三种方案．第一种方案：购T恤23件，影集27本；第二种方案：购T恤24件，影集26本；第三种方案：购T恤25件，影集25本．
3.解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．由题意，得
 ，解这个不等式组，得18≤x≤20．由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20． 当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．
故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）．故方案一费用最低，最低费用是22320元．
4.解：（1）设平均每次下调的百分率x，则 6000（1－x）2=4860，解得：x1=0.1 x2=1.9（舍去）所以平均每次下调的百分率10%．
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元，方案②可优惠：100×80=8000元
所以方案①更优惠．
作者简介：左效平，中学数学高级教师，山东省沂源县徐家庄中心学校副校长，擅长解题方法的探究和学法指导的归纳总结，在《中学生数理化》《中学数学杂志》《数学周报》《数理报》《数理天地》《中学生》等杂志，报刊刊发论文近百篇，在“希望杯”数学竞赛中获得命题奖二等奖，沂源县数学中心教研组成员。 (责任编辑：admin) |