巧用因式分解揭秘“托尔斯泰割草问题”
http://www.newdu.com 2024/11/28 07:11:45 人民教育出版社 佚名 参加讨论
托尔斯泰不仅是一位伟大的文学家，还是一个有名的“数学迷”，每当创作余暇，只要见到有趣的数学题目，他总会丢下其他事情，沉迷于数学演算之中．他还动手编了许多数学题，这些题目都很有趣而且都不太难，富于思考性，因而在俄罗斯少年中广泛流传．著名的“割草问题”就是托尔斯泰最为欣赏的一道数学题： 割草队要割两块草地，其中一块比另一块大一倍．全队在大块草地上割了半天后，分为两半，一半继续留在大块草地上，另一半转移到小块草地上．留下的人到晚上就把大块草地全割完了，而小块草地上还剩一小块未割．第二天，这剩下的一小块，一个人花了一整天时间才割完．问割草队共有多少人？ “割草问题”的解法较多，既可以用小学所学的算术方法解，也可以用中学所学的方程(组)解，下面提供一种列方程组的解法： 设割草队共有x人，每人每天割草的面积为1，小块草地的面积为k，则大块草地的面积为2k，根据题意列方程组，得  ．解得 ．所以割草队共有8人．在“割草问题”的众多解法中，值得一提的是下面的构图法：  因为大块草地面积是小块草地面积的2倍，全队人在大块草地上割半天所割下草的面积也是一半人在小块草地上割半天所割下草的面积的2倍(图中的两个阴影部分)．由于大块草地上的阴影部分由一半人半天割完，所以小块草地上的阴影部分需总人数的  用半天割完，相当于总人数的 用一天割完，而实际上，小草地上的阴影部分由1 人割1 天割完，所以总人数为8．这种构图法构思巧妙，解法简捷，是“割草问题”最为简捷的解法，几乎不用动笔，可以心算．在这种构图法的背后，实际上用到了一个推理，即由“大块草地面积是小块草地面积的2倍”得到“全队人在大块草地上割半天所剩下草的面积是一半人在小块草地上割半天所剩下草的面积的2倍”，这是为什么呢？在这里因式分解可以派上用场． 根据“大块草地面积是小块草地面积的2倍”可设小块草地的面积为a，则大块草地的面积为2a．再设一半人在小块草地上工作半天的割草面积为b，则全队人在大块草地上工作半天的割草面积为2b，因此全队人在大块草地上割半天所剩下草的面积是2a-2b，一半人在小块草地上割半天所剩下草的面积是a-b，显然2a-2b=2(a-b)． 以上事实充分说明运用因式分解不仅可以用来分解因式，而且在解决实际问题时如果能够巧妙运用因式分解，可使一些看似复杂的问题得到简化． (责任编辑：admin) |
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