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二、填空题(本大题共3小题，共10分.17～18小题各3分;19小题有2个空，每空2分.把答案写在题中横线上) 17.如果点A(a+1，-5)和点B(4，b-2)关于x轴对称，则ab=21. 18.如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE=AD，CE=CD，△BEC的周长为13，△ABD的周长为29，则AD的长是8. 19.如图，在第1个△ABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到点A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2=∠A1 A2C;在A2C上取一点D，延长A1A2到点A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2 A3D……按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为17.5°; 第n个三角形中以An为顶点的内角的度数为70°2n-1. 三、解答题(本大题共7小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.(9分)已知：如图所示. (1)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标; (2)在x轴上画出点P，使PA+PC的值最小，写出作法. 解：(1)△A′B′C′如图所示，A′(-1，2)，B′(-3，1)，C′(-4，3).(2)如图所示，点P即为使PA+PC的值最小的点.作法：①作出点C关于x轴对称的点C″(4，-3);②连接C″A交x轴于点P，点P即为所求点. 21.(9分)如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O. (1)求证：AD=AE; (2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由. 解：(1)证明：在△ACD与△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AC=AB，∴△ACD≌△ABE，∴AD=AE. (2)直线OA垂直平分BC.理由如下：如图，连接BC，AO，并延长AO交BC于点F，在Rt△ADO与Rt△AEO中，OA=OA，AD=AE.∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，∴∠DAO=∠EAO，即OA是∠BAC的平分线，又∵AB=AC，∴OA⊥BC且平分BC. 22.(9分)如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE. (1)如果∠BAE=40°，那么∠B=70°，∠C=35°; (2)如果△ABC的周长为13 cm，AC=6 cm，那么△ABE的周长=7cm; (3)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长? 并证明你的结论. 解：(3)AB+BD=DC.证明：∵AD⊥BC，BD=DE， ∴AB=AE，∵点E在AC的垂直平分线上，∴AE=CE，∴AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC. 23.(9分)在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点(不与点E重合)，且FD⊥BC于点D. (1)如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，则∠EFD的度数为10°; (2)如果点F在线段AE上(不与点A重合)，如图2，问∠EFD与∠C-∠B有怎样的数量关系?并说明理由. 解：(2)∠EFD=12(∠C-∠B).理由：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=180°-∠B-∠C2=90°-12(∠C+∠B).∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+90°-12(∠C+∠B)=90°+12(∠B-∠C).∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°.∴∠EFD=90°-∠FED=90°-[90°+12(∠B-∠C)]，∴∠EFD=12(∠C-∠B). 24.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD. 求证：(1)AD=CF; (2)点F为BD的中点. 证明：(1)∵E为AC边的中点，∴AE=CE，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CF平分∠ACB，∴∠BAC=45°=∠ECF，∵AD⊥AB，∴∠DAC=45°=∠FCE，又∵∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF.(2)∵AC=CB，∠DAC=∠FCB，AD=CF，∴△ACD≌△C BF，∴CD=BF，∠ACD=∠CBF， ∵∠DCF=∠ACD+∠ECF=∠ACD+45°，∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°，∴∠DCF=∠DFC，∴DC=DF，∴BF=DF，即点F为BD的中点. 25.(10分)在△ABC中，AB=AC. (1)如图①，若∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于点H.求证：AH=2BD; (2)如图②，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.如果在运动过程中存在某一时刻使得△BPM与△CQP全等，那么点Q的运动速度为多少?点P，Q运动的时间t为多少? 解：(1)证明：在△ABC中，∵∠BAC=45°，CE⊥AB，∴AE=CE，又∵AD⊥BC，∴∠EAH+∠B=∠ECB+∠B=90°，∴∠EAH=∠ECB，在△AEH和△CEB中，∠EAH=∠ECB，AE=CE，∠AEC=∠BEC=90°，∴△AEH≌△CEB(ASA)，∴AH=BC，∵AD⊥BC，AB=AC，∴BD=CD，∴BC=2 BD，∴AH=2BD.(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPM与△CQP全等有两种情况：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP.当△BPM≌△CPQ时，BP=PC=4厘米，CQ=BM=5厘米，∴点P，点Q运动的时间t=BP3=43秒，∴vQ=CQt=543=154(厘米/秒).当△BPM≌△CQP时，BP=CQ，∴vQ=vP=3厘米/秒.此时 PC=BM=5厘米，t=BC-PC3=1秒.综上所述，点Q的运动速度为154厘米/秒，t=43秒或点Q的运动速度为3厘 米/秒，t=1秒时，△BPM与△CQP全等. 26.(12分)如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD. (1)求证：△OCD是等边三角形; (2)当α=150°时，试判断△AOD的形状(按角分类)，并说明理由; (3)求∠OAD的度数; (4)探究：当α=________时，△AOD是等腰三角形.(不必说明理由) 解：(1)证明：∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC.∵∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形.(2)△AOD是直角三角形.理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，α=150°，∴∠ADC=∠BOC =α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是直角三角形.(3)由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=α.∵△OCD是等边三角形，∴∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α，∴∠OAD=180°-∠ADO-∠AOD=50°.(4)①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°;②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°;③当∠ADO=∠OAD时，α -60°=50°，∴α=110°.综上所述，当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形，故答案为：110°或125°或140°. (责任编辑：admin) |