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三、解答题(共66分) 19.(6分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点). (1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1; (2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2=C2B2. 解：(1)图略 (2)图略 20.(6分)已知a-b-1+b2-4b+4=0，求边长为a，b的等腰三角形的周长. 解：由题意得b=2，a=3，当a是腰时，三边是3，3，2，此时周长是8;当b是腰时，三边是3，2，2，周长是7 21.(7分)(2016•湘西州)如图，点O是线段AB和线段CD的中点. (1)求证：△AOD≌△BOC; (2)求证：AD∥BC. 证明：(1)∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，DO=CO.在△AOD和△BOC中，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，∴△AOD≌△BOC(SAS) (2)∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC 22.(8分)如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，直线BD，CE相交于点H. (1)若∠BAC=100°，求∠DHE的度数; (2)若△ABC中∠BAC=50°，直接写出∠DHE的度数是__50°或130°__. 解：(1)∠DHE=80° 23.(8分)如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE. 求证：(1)∠AEC=∠BED;(2)AC =BD. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠AEC=∠BED (2)∵E是AB的中点，∴AE=BE，可证△AEC≌△BED(SAS)，∴AC=BD 2 4.(9分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F. (1)试判断DF与EF的数量关系，并给出证明; (2)若CF的长为2 cm，试求等边三角形ABC的边长. 解：(1)DF=EF.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，又∵AD⊥BC，∴∠DAC=30°.∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，∴∠DAF=∠EAF=30°， 由三线合一知DF=EF (2)BC=2CD=2×2CF=8 cm 25.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD= 15°，E为AD延长线上的一点，且CE=AC. (1)求∠CDE的度数; (2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD. 解：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠DAB=∠DBA=45°-15°=30°，∴AD=BD，∴△ACD≌△BCD(SAS)，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60° (2)连接CM，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△CDM是等边三角形，∴CM=CD，∵CE=CA，∴∠E=∠CAD=15°，∴∠ECM=∠CMD-∠E=60°-15°=45°=∠BCD，又∵CE=AC=BC，∴△BCD≌△ECM(SAS)，∴ME=BD 26.(12分)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC ，且AC=BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)在图①中，请你通过观察、测量、猜想，写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系; (2)将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想; (3)将△EFP沿直线l向左平移到图③ 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系与位置关系还成立吗?若成立，给出证明;若不成立，请说明理由. 解：(1)AB=AP，AB⊥AP (2)BQ=AP，BQ⊥AP.证明：由已知得EF=FP，EF⊥FP，∴∠EPF=45°.∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ=45°，∴CQ=CP，由SAS可证△BCQ≌△ACP，∴BQ=AP.如图，延长BQ交AP于点M，∵△BCQ≌△ACP，∴∠1=∠2.在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90° ，又∵∠3=∠4，∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，∴∠QMA=90°，∴BQ⊥AP (3)成立.证明：∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45° .又∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ=45°，∴CQ=CP.由 SAS可证△BCQ≌△ACP，∴BQ=AP.延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ.∵△BCQ≌△ACP，∴∠BQC=∠APC.在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°，∴∠PNB=90°，∴BQ⊥AP (责任编辑：admin) |