|
利用“中线倍长”构造全等三角形 【例3】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC>AB，求证：AB＋AC>2AD>AC－AB. 证明：延长AD至E，使AD＝DE，并连结CE， ∵D是BC上的中点， ∴CD＝BD. 又∵AD＝DE，∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB≌△EDC(SAS)． ∴AB＝CE. ∵AC＋CE>2AD>AC－CE， ∴AB＋AC>2AD>AC－AB. 【方法归纳】 当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形． 5．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝12AC. 证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结DF. ∵AE是△ABD的中线， ∴BE＝DE. 又∵∠AEB＝∠FED， ∴△ABE≌△FDE. ∴∠B＝∠BDF，AB＝DF. ∵BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF. ∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B， ∴∠ADF＝∠ADC. ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD. ∴DF＝CD. 又∵AD＝AD， ∴△ADF≌△ADC(SAS)． ∴AC＝AF＝2AE，即AE＝12AC. 6．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM. 证明：延长AM至点N，使MN＝AM，连结BN， ∵M为BC中点， ∴BM＝CM. 又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB， ∴△AMC≌△NMB(SAS)． ∴AC＝BN，∠C＝∠NBM. ∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. ∵AD＝AC，AC＝BN， ∴AD＝BN. 又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)． ∴DE＝NA. 又∵AM＝MN，∴DE＝2AM. (责任编辑：admin) |