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(一) 三角形的初步知识
01 基础题
知识点1 三角形内角和定理及其推论
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( D )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
2．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于( A )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
知识点2 三角形的三边关系
3．三角形的两边长分别为6 cm和10 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( D )
A．17 cm B．16 cm
C．4 cm D．5 cm
知识点3 三角形中的重要线段
4．如图，已知△ABC的面积是24，D是BC的中点，E是AC的中点，那么△CDE的面积是6．
5．如图，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝32°，∠C＝78°，则∠DAF＝23°．
知识点4 命题与证明
6．请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例答案不唯一，如：α＝50°，β＝60°，α＋β>90°．
知识点5 全等三角形的性质与判定
7．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( A )
A．∠B B．∠A
C．∠EMF D．∠AFB
8．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的( A )
A．AB＝CD B．EC＝BF
C．∠A＝∠D D．AB＝BC
9．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC.求证：△ACD≌△BEC.
证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B.
在△ACD和△BEC中，
AD＝BC，∠A＝∠B，AC＝BE，
∴△ACD≌△BEC(SAS)．
知识点6 线段垂直平分线及角平分线的性质
10．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C、D，则下列结论错误的是(B)
A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是( C )
A．24° B．30°
C．32° D．36°
知识点7 尺规作图
12．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是( B )
02 中档题
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，若∠A＝40°，则∠EDF的度数为( B )
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
14．任取长度分别为4 cm，5 cm，6 cm，7 cm四根细木棍中的三根，首尾顺次相接组成三角形，则三角形的个数最多为( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
15．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题(填“真”或“假”)．
16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝70°．
17．如图，已知△ABC，请按下列要求作图：
(1)用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG；
(2)作BC边上的高线(本小题作图工具不限)；
(3)用直尺和圆规作△DEF，使△DEF≌△ABC.
解：(1)如图1，CG为所作．
(2)如图1，AH为所作．
(3)如图2，△DEF为所作．
图1 图2
18．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，AE＝BF，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．
解：(1)与∠AED相等的角是∠DAG、∠BFA、∠CDE.
(2)方法一：选择∠AED＝∠BFA，
正方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝90°，AD＝AB，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BAF(SAS)．
∴∠AED＝∠BFA.
方法二：选择∠AED＝∠CDE，
正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE.
方法三：选择∠AED＝∠DAG，
先证△ADE≌△BAF.∴∠AED＝∠BFA.
正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠BFA.
∴∠AED＝∠DAG.
19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°.
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°.
∴∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°.
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°.
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C＋∠CBF＝60°＋35°＝95°.
∴∠BOA＝∠EAF＋∠AFB＝25°＋95°＝120°.
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°. |