一个折叠问题的辅助线作法探究 湖北省安陆市洑水中学 王官清 下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题,需要作辅助线构造相似三角形,才能顺利解决。但辅助线的作法比较灵活,通过探究此例辅助线的作法,能够训练思维的灵活性、深刻性,从而提高数学能力。下面从构造相似三角形的角度出发,探究四种辅助线的作法。 例 如图1,Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上,点N在BC上,沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P. (1) 当P为AB中点时,求证: ![]() (2) 当P不是AB中点时, ![]() ![]() ![]() 析解:(1)如图1, P为AB的中点,则PA=PB,要证 ![]() 连结CP,由PA=PB,CA=CB,得CP⊥AB. 可知△CMN与△PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN. ∴MN⊥CP.(MN是PC的垂直平分线) ∴MN∥AB. ∴ ![]() ![]() ∵ ![]() ![]() (2) 如图2, 此时 ![]() 如何证明关键是怎么作辅助线,将成比例线段的四条线段集中在一块,利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。 辅助线一 由 ![]() 证:如图(2),作PQ//AC,则PQ⊥BC,连结PC. ∵PQ∥AC,∴ ![]() 而PQ=QB,∴ ![]() (如果以 ![]() ![]() 于是从 ![]() 由已知可得PC⊥MN,MC⊥CN, ∴∠CMN=∠PCQ,∴Rt△PCQ∽Rt△NMC. ∴ ![]() ![]() 辅助线二 仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。 ![]() 证:如图3. 作PH⊥AB于P交AC于H,作AQ∥BC,于PN的延长线交于Q,可得 △PAQ∽△PBN,有 ![]() ∵PH⊥AB于P,∠PAH=45°,∴PA=PH,∠PHM=∠PAQ=45°, ∵△CMN≌△PMN,∠MPN=Rt∠.∠1+∠3=∠2+∠3=Rt∠ ∴∠1=∠2, ∴△PHM≌△PAQ(ASA) ,∴PQ=PM. ∴ ![]() 辅助线三 由 ![]() ![]() 证:作PQ=PN交BC于Q,如图4. ∠PNQ=∠PQN,∠PNC与∠PMC互补,∠PMA与∠PMC互补,∠PMA=∠PQB,又∠A=∠B=45°, ∴△PMA∽△PQB, ∴ ![]() 又PQ=PN∴ ![]() 而PM=PN,PN=CN,∴ ![]() 辅助线四 根据以上三种辅助线的作法,不难想到第四种作法。 ![]() 证:如图5,作PH⊥AC于H,PG⊥BC于G , 易证Rt△AHP∽Rt△BGP, 则 ![]() 再证Rt△AHP∽Rt△PGN,∴ ![]() |