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一个折叠问题的辅助线作法探究 湖北省安陆市洑水中学 王官清 下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题，需要作辅助线构造相似三角形，才能顺利解决。但辅助线的作法比较灵活，通过探究此例辅助线的作法，能够训练思维的灵活性、深刻性，从而提高数学能力。下面从构造相似三角形的角度出发，探究四种辅助线的作法。 例 如图1，Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上，点N在BC上，沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P. (1) 当P为AB中点时，求证：  .(2) 当P不是AB中点时， 是否仍然成立？若成立，请给出证明。  析解：（1）如图1, P为AB的中点，则PA=PB，要证 ，所以应证CM=CN.连结CP，由PA=PB，CA=CB，得CP⊥AB. 可知△CMN与△PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN. ∴MN⊥CP.(MN是PC的垂直平分线) ∴MN∥AB. ∴  = =1.∵  ，∴.(2) 如图2, 此时 仍然成立.如何证明关键是怎么作辅助线，将成比例线段的四条线段集中在一块，利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。 辅助线一 由 ，考虑从线段AB 的内分点P作AC的平行线，构造出相似三角形，再从已知分析寻找证明思路。证：如图（2），作PQ//AC，则PQ⊥BC，连结PC. ∵PQ∥AC，∴  .而PQ=QB，∴ .（如果以  作为中间比，须证 。于是从 思考△PQC∽△NCM是否成立。）由已知可得PC⊥MN，MC⊥CN， ∴∠CMN=∠PCQ，∴Rt△PCQ∽Rt△NMC. ∴ .∴.辅助线二 仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。  证：如图3. 作PH⊥AB于P交AC于H，作AQ∥BC，于PN的延长线交于Q，可得 △PAQ∽△PBN,有  .∵PH⊥AB于P，∠PAH=45°，∴PA=PH,∠PHM=∠PAQ=45°, ∵△CMN≌△PMN,∠MPN=Rt∠.∠1+∠3=∠2+∠3=Rt∠ ∴∠1=∠2, ∴△PHM≌△PAQ(ASA) ，∴PQ=PM. ∴  .辅助线三 由  可知，PA、PM在△PAM中，而PB、PN在△PBN中，显然不易证这两三角形相似，于是想办法作辅助线构造一个与△PAM相似的三角形。 证：作PQ=PN交BC于Q，如图4. ∠PNQ=∠PQN，∠PNC与∠PMC互补，∠PMA与∠PMC互补，∠PMA=∠PQB，又∠A=∠B=45°， ∴△PMA∽△PQB, ∴  .又PQ=PN∴ 成立。 而PM=PN，PN=CN，∴ .辅助线四 根据以上三种辅助线的作法，不难想到第四种作法。  证：如图5，作PH⊥AC于H，PG⊥BC于G ， 易证Rt△AHP∽Rt△BGP, 则  ,再证Rt△AHP∽Rt△PGN,∴  问题可以得到解决。
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