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打破常规 思路大开 甘肃省会宁县枝阳中学 禄文夫 前言 对于初中代数部分的解题方法，我们如果对数学对象细心研究，就发现不同的解题方法，有些解题方法使我们的思维有了耳目一新的感觉，把这些解题技巧串联起来，便于发现问题的实质，从而“巧思”、“巧解”、“巧算”不在时望尘莫及的事，这些方法掌握后，将少走很多弯路，省力省时，提高解题的准确性，以下是以中考试题为例，对于部分解题方法进行剖析. 技巧一 裂项法； 适用范围：当分最简公母因式比较多时，不能按照常规思维直接通分即找出各分母的最简公分母然后去分母，此类题目的特征一般是：每个分式的分母是两项代数式的积，并且这两个代数式的差都是一个定值，我们可将每一个分式先拆成两项，即：  ，通过各个分式拆项，正负抵消一部分，是原来的式子简化，然后再通分解答。例1. 化简  常见思路：  + + =  = =   打破常规：  技巧二、反复加减法： 适用范围：解形如  二元一次方程组，常规思维是应用代入消元或加减消元达到求解的目的，如果该类方程组符合 的形式，即系数出现轮换对称，我们可以将方程组中的方程直接相加、减得到新的方程组，再将得到的新的方程组加、减，如此反复，便可巧妙地迅速求解，我们称之谓反复加减法． 例2.（2011江苏泰州）解方程组 ，并求 的值．常见思路：利用加减消元或代入消元法解方程组如上解： ①×2－②，得  ∴ ，把带入①得： ∴ ∴原方程组的解为   ∴ 打破常规： ①＋②，得  ∴ ③；②－①，得  ∴ ④；③＋④，得 ，③－④，得∴原方程组的解为 ∴（注：可由③2-④2直接构造得  ∴）技巧三、结论构造法： 适用范围：在代数式的求值过程中，根据题设的条件特征，在结论式中构造题设的特征，一般所给出的代数式的值有两个，并且满足  的特征是自出现，即 互为有理化因式（的积是有理式），我们可以对于相加（减）或相乘（除）去构造满足题设的对象为目的，并借助该对象来解决问题.例3.（桂林2010）先化简，再求值：  ，其中 常规思维： 解：原式  =  = = 当 时原式=  打破常规： 解：∵ ∴   当 时原式   技巧四、建模法： 适用范围：在求点的分布位置时，如果点的坐标是相关联的代数式，我们可以依据其特征将代数关系建立一个数学模型，一方面是为了简化解决过程中的复杂现象，另一方面是借助于模型的性质去解决问题，这样模型中的数学性质或关系可以明显的反映对象的实质. 例4.点  一定在第 象限？常规思维： 用特殊值代入法列举，可以列出一些点，由点的坐标规律确定点的位置，解决过程较繁琐. 打破常规： 解：设  ∵  ∴函数的图像分布在第一、二、四象限则点 一定在第一、二、四象限技巧五、分析法： 适用范围：当所给的问题按照正常的方法解决比较繁琐或不能解决时，我们可以分析法式子的因果关系， 从求证的式子出发，“由果索因”，逆向逐步找这个式子成立需要具备的条件，从而达到解决问题的目的. 例5.解方程  常规思维： 解：∵  ∴  ∴  显然出现高次方程，无法解决，利用利用列举发也无法求解.打破常规：   ∴  ∴ ∴  ∵ ∴ 技巧六、特殊值法： 适用范围：在分解因式或者是其它代数式运算时，如果你不会用正常方法求解，我们可以用特殊值代替题设中的普遍条件，得出特殊的结论。当题目已知条件中含有某些不确定的量，而题目的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值或特殊位置，或者一种特殊情况来求出这个定值，从而简化了推理论证的过程，但代入特殊值时，一般不要使代数式的值为0. 例6.（2011山东潍坊）分解因式：  =_________________常规思维： 解： = =  打破常规： 解：设  则原式 ∵ ∴ ∴=
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