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借因式分解求值 湖北省黄石市下陆中学 周国强 因式分解用处多多。其中，某些求值问题亦可借助因式分解来解决，现举几例，以求抛砖引玉。 一、.求算式的值 例1 计算：1003  －501×2006简析：因为2006=1003 ×2，501×2=1002，所以运用提公因式法进行因式分解，可简化运算。 。 解：原式=1003 －501×2×1003=1003×（1003－1002）=1003。例2 计算：101  －202－9998简析：因为首项是101 ，第二项中的202=2×101，第三项中的9998=9999－1，所以考虑用完全平方公式分解因式，可简化运算。 解：原式=101 －2×101－（9999－1）=（101－1）－9999=100－9999=1。二、求代数式的值 例3 当m=－5时，求m  －34m+225的值简析：直接代入计算较麻烦，可先考虑用十字相乘法将所求的式子因式分解，再代入 计算。 解：∵m －34m +225=（m－9）（m－25）=（m+3）（m－3）（m+5）（m －5）， ∴当m=－5时，原式= 0。 例4 已知a +a +1=0,求a+2a +5a+4a的值 。简析：显然，解出a的值后，再代入计算是不可取的。若先把所求式子进行因式分解， 然后整体代入求值，则事半功倍。 解：∵a +2a+5a+4a=（a+a）+4（a+a）=（a+a）（a+a+4），∴当a +a = － 1时，原式=－1×（－1+4）=－3。三、求待定系数的值 例5 二次多项式x +2mx－3 m能被x－1整除，求 m的值。简析：二次多项式x +2mx－3 m能被x－1整除，即x+2mx－3 m中含有因式x－1。若x +2mx－3 m能分解为两个关于x的一次式的积，则问题迎刃而解。解：∵x +2mx－3 m＝（x+3m）(x－m),又x +2mx－3 m能被x－1整除，∴x+3m＝x－1或x－m= x－1， ∴m=－  或1. 例6. k为何值时，方程（k－1）x －(2k+3)x+(k+4)=0(k≠1)的两根平方差为15？简析：先将方程左边进行因式分解，进而求出两根，依题意可构造关于k的方程来解。 解：将原方程左边因式分解，变形为 [（k－1）x－(k+4)]（ｘ－1）= 0 ∴  ＝ ，  。∵  =±15,∴3 k －8 k=0或3 k－4 k+6=0(无解)由3 k －8 k=0得k=0或k= 。故当k=0或k=时，方程两根的平方差为15.四、求函数的最值： 例7. 已知ｘ为实数，求函数y=－（x －4）（x－1 0 x+21）－100的最值。简析：同学们会求二次函数的最值，而本题中的函数不是二次函数，能否求出它的最值呢？由于本题中的函数较特殊，我们不妨用因式分解法试试。 解：∵－（x －4）（x－1 0 x+21）－100=－（x+2）（x－2）（x－3）（x－7）－100 =－（x －5x－14）（x－5x+6）－100=－（x －5x）－8（x－5x）+16=－（x －5x+4）≤0∴无论x取何值，函数y总有最大值0。 例8.已知：关于x的方程x －2 x＋ k=0有实数根，且y=+x ，函数y有最值吗？若有，试求出其值，若没有，请说明理由。简析：借助因式分解不难求出y关于k的函数，再看此函数有无最值。 解：∵ +x=（+ ）[（+）－3 ]又 +=2，=k∴ +x=2（4－3k）=8－6k依题意，有△＝2 －4k≥0，∴k≤1， 即y=8－6k 这是y关于k的一次函数，故由一次函数的性质知，当k=1时，y有最小值2. 从以上几例可以看出，看似较难的求值问题，有时可以借助因式分解来解决，而且方便简捷。 (责任编辑：admin) |