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一道图形被遗漏的四边形题引发的思考 湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中 谷兴武 笔者2011年使用的襄阳市樊城区教研室编撰的数学八(下)《快乐课堂》的“梯形”一节有这样一道选择题： 如图，已知四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，则下列结论正确的是( ) A、MN＞AD B、MN=AD C、MN＜AD D、无法确定MN与AD的关系 分析：原题可能印刷制版出现错误，致使该题的图形被漏排。由于题目没有已知图形。有的教师直接放弃了该题；也有的教师针对题目分析了图形的可能性：题目告知了一组对边相等，所以图形有可能是平行四边形或等腰梯形，当四边形ABCD为平行四边形时，易得MN=AD；当四边形ABCD为等腰梯形时，易证MN＜AD，因此，这些教师得出结论，选D答案。但笔者认为，原题目要是配图的话，不会配平行四边形或等腰梯形，理由是过于简单。部分教师把原图的草图画成平行四边形或等腰梯形，是受到平行四边形思维的影响，将AB和CD画平行了，但是AB和CD也有可能不平行。  如图1，在四边形ABCD中，AD=BC，AB不平行于CD，点M是AB的中点，点N是CD的中点，比较MN与AD大小. 笔者认为这样才是出题者的意图。 现在我们来比较一下图1中的MN与AD大小，笔者起初试了试，觉得有一定的难度。 后来经过几位教师共同研究，总结了两种方法。 由于此题出现在《平行四边形》一章的三角形中位线定理学习之后，题目又提供了M、N分别是AB、CD的中点。 看来此题需要用到三角形中位线定理的知识，可是图1中没有现成的三角形，那么需要作辅助线构造三角形。 这也符合将多边形问题转化成三角形问题的思想。 方法1：可以作出四边形ABCD的一条对角线，将四边形ABCD分成两个三角形. 解：如图2，连接AC，取AC的中点F，连接MF、FN 因M、F分别为AB、AC的中点，所以 同理 在△FMN中， 方法2：把MN作为某个三角形的中位线作辅助线，同时利用已知一边上的中点构建全等三角形。 相当于将AD与BC转移到同一个三角形中，再利用三角形中两边之和大于第三边的知识点来比较线段大小。 解：如图3，连接DM并延长，并且在DM的延长线上截取EM=DM，再连接CE、BE. 因M、N分别为DE、CD的中点，所以  ，所以CE﹦2MN因AM﹦BM，DM﹦EM，∠AMD﹦∠BME，所以△AMD≌△BME. 所以BE﹦AD 在△BCE中，BE+BC﹥CE 所以AD+BC﹥2MN 又因AD=BC 所以2AD﹥2MN，所以AD﹥MN  从以上的研究过程中，笔者总结经验：见到中点，且题目牵涉到线段的数量关系，特别是线段的倍半问题或比例问题，通常构造三角形中位线来解决之。例如： 2010年湖北省武汉市中考题第24题的第(1)小题： 已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连结AC，BD交于点P． (1)如图4，当OA=OB，且D为OA中点时，求  的值； 分析：由于已知条件中有中点这个条件，所以联想到三角形中位线定理作辅助线，当然此题方法很多，如：也可构造平行线，利用平行线分线段成比例定理或平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)，所构成的三角形与原三角形相似。 提示：连接AB和CD，易证△APB∽△CPD，∴AP/PC=AB/CD=2/1. 请读者自己完成。 个人简介：男，39岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。 (责任编辑：admin) |
，又因AD﹦BC