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应用根与系数关系莫忘判别式 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理。韦达定理在解决与一元二次方程有关的实际问题中有着广泛的应用。但在应用韦达定理时，很多同学往往忽视一个重要制约条件，这就是要先保证该一元二次方程有实数根（满足根的判别式），如果一元二次方程没有实数根，则也不存在根与系数的关系。因此，我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件。 例1 已知x  、x 是方程2x －2x+1－3m=0的两个实数根，且xx+2（ x+x）＞0，那么实数m的取值范围是 。解析：⑴方程有两个实数根，则（-2） －4×2（1－3m）≥0，∴m≥ ⑵由韦达定理x +x=1，xx= ，又xx+2（ x+x）＞0即有 +2＞0 ∴m＜ ∴实数m的取值范围是≤m≤点拨：应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根。 例2 若关于x的一元二次方程3x +3（a+b）x+4ab=0的两个实数根x、x满足关系式x（ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），判断（a+b）≤4是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例。解析：⑴由x （ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1）， 变形得：（x +x）－3 xx－1=0 由韦达定理有x+x=－（a+b），xx= ab即有（a+b） －4ab－1=0 ∴（a+b）=4ab+1⑵方程有两个实数根，由根的判别式9（a+b） －48ab≥0，∴（a+b）≥ ab∴4ab+1≥ ab，可得4ab≤3 ∴（a+b）=4ab+1≤4。点拨：由根的判别式作中间条件推导出4ab≤3是本题的解题关键。 例3 设x 、x是方程2x－4mx+2m+3m－2=0的两个实数根，当m为何值时x+x有最小值？并求出这个最小值。解析：⑴由根的判别式16 m －8（2m+3m－2）≥0， ∴m≤ ⑵由韦达定理有x +x=2m，xx= 设y= x +x=（x+x）－2 xx=4 m－（2m+3m－2）=2 m －3m+2=2（m－ ）+ y关于m的二次函数对称轴m= ，m≤＜时，y随m的增大而减小∴m= 时，y有最小值，即x+x有最小值。最小值为：2（－）+= 点拨：由根的判别式确定m的取值范围，从而正确地确定二次函数区间上的最小值。 练习： 1．若关于x的方程2x －2x+3m－1=0有两个实数根x、x，且xx＞x+x－4，则实数m的取值范围是（ ）。A．m＞  ； B。m≤ ； C。m＜； D。＜m≤2．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x －12x+m=0的两根，则m的取值范围是 。（1．参考答案：B；2．点拨：由方程两根之差小于第三边，结合韦达定理、判别式可求得  ＜m≤18）作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章60多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑：admin) |