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“求两线段长度值和最小”问题全解析 山东沂源县徐家庄中心学校 左进祥 在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助． 一、在三角形背景下探求线段和的最小值 1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值 例1 如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4  ,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为 ． 分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决． 解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM， 所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4． 1.2在等边三角形中探求线段和的最小值 例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .  分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可． 解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF=  =2 ．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE=  =  .二、在四边形背景下探求线段和的最小值 2.1在直角梯形中探求线段和的最小值 例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．  分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法． 解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°． 因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以  .因为AE=4，BC＝6，所以 ，所以 ，所以 ,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值 例4 如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为 ．  分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键． 解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=  ,DG= ．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值 例5 如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 ．  分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点． 解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED=  = ．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值 例6 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 ．  分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点． 解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM=  =10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．  分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法． 解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ=  = ，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值 例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( ) (A)2 (B) (C)1 (D)2 分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度． 解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点， 所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB=  =.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值 例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y= x的图象与反比例函数y= （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式； （2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.  分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键． 要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了． 解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y． 因为三角形OAM的面积为1，所以  所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y= ．（2）因为y= x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以 ，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=  ，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值 例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ） ，△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；  分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法． 解：（1）由题意得:  所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1， ）代入解析式得：3a=，所以a= ，所以函数的解析式为y= + x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E． 过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以  ,所以  ，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形  的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.  分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中． 解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点  ，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点  （与点E不重合），连接C、D、.由D + C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△ 的周长最小.因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以 BC=3，DO= O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为 （0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则 ，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点 ，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为 GC∥EF，GC=EF，所以 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小. 因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以 BC=3，DO= O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为 （0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则 ，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x= ，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（ ，0）
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