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梯形中常见辅助线的作法 湖北省黄石市下陆中学 陈 勇 梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综 合 ”。可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。 一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。 例1 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF为10，求梯形ABCD的面积。  分析：由于等腰梯形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。 解：过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E. ∵DC∥AE ；∴四边形CDBE为平行边形；∴DB=CE,DC=BE ∵梯形ABCD为等腰梯形；∴AD=BC,AC=BD；∴AC=CE ∴△ADC≌△CBE即S△ADC=S△CBE；∴S梯形ABCD= S△ACE ∵AC⊥BD，CE∥DB；∴AC⊥CE；∴△ACE为等腰直角三角形 ∵CF为高, ∴CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的中线 ∵CF=10，∴AE=20 ∴S梯形ABCD= S△ACE=  AE×CF=×20×10=100二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。 例2 如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是( )  A.9O° B.6O° C.45° D.30° 解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图所示平移 DC到AE，AE交BC于E。可知BE= BC-AD=AB．又AB=DC=AE．故 AB=BE=AE,△ABE是等边三角形。所以∠B=60°.故选B。 例3 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC．AD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC。求证：∠B=∠C。  解析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质加以证明。 过点E作EH∥AB，EG∥DC，分别交BC于H、G。 ∵AD∥BC，∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形。 ∴AE=BH，ED=GC。又E、F分别为AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC ∴BH=GC,BF-BH= FC-GC，从而FH=FG.又EF⊥BC,所以EH=EG，故 ∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。 三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。 例4 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长。 解析：延长两腰相交于点 E，如图，因为∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°，△BCE为等 边三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE，所以CD= BC。又AD∥BC，故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。 ∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。 四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。 例5 已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是 。 解析：如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°， AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC= AB=2 cm。 ∴ BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm). 梯形中添加辅助线的方法有很多，同学们在学习的过程中还须活学活用，也可以以口诀的形式记忆下来：“移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线”。 (责任编辑：admin) |