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三角形重心性质定理 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 1．三角形重心性质定理 课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题） 在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？ （提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND） 分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 证法1：（根据课本上的提示证明） 取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1）  ∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=  AB又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE= AB∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形 ∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD 同理可证：CG=2GF，BG=2GE 点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。 证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。  ∵G是BF的中点，D是BC的中点 ∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD= FC由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF ∴AG=FC，即GD= AG点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。 证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略） 2.三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长 例1 如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm。  解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12， D是斜边AB的中点，∴CD= AB=6G是Rt△ABC的重心，∴CG=  CD=4由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30° Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE= CG=2（cm）⑵求面积 例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。  解：∵O是△ABC的重心， ∴AO∶OD=2∶1 ∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2 S△BOD=10 ∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15 又AD是△ABC的中线 S△ABC=2 S△ABD=30。 练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。   2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为 。 作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《中学生数学》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《语数外学习》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《小博士报》、《少年智力开发报·数学周刊》等报刊发表教学辅导类文章80多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑：admin) |