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巧用比例性质，解证比例线段 江苏省东台中学实验初中 周礼寅 比例的三条性质，是相似形中证明比例线段问题的基本依据，若能灵活加以应用，则可减少思维障碍，迅速打开解题突破口。 1 巧用基本性质 “三点形法”是证明线段等积的最常用也是最有效的方法。它是根据比例的基本性质，将等积式转化为比例式，找出其中包含的几个字母，是否存在可由“三点”定出的两个相似三角形。 例1、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=  ，AB=AC，D为BC中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE= ，（1）求证：BD·BC=BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF∶FD的值。 分析：（１）将待证的等积式化为比例式：  ，横看：比例式的两个分子为B、D、E三点，两个分母为B、G、C三点，均不能构成相似三角形；竖看：比例式左端BD、BG构成△BDG，右端BE、BC构成△BEC，依“三点形法”只需证△BDG∽△BEC；（2）、（3）分析略。在运用“三点形法”时，首先要化等积式为比例式，然后再横看看、竖看看，找到相似三角形进而证明。但有时将等积式化为比例式后无法再用“三点形法”，此时还需运用以下三种常用的转化方法进行证明： 1．1 等线段转化法 例2、如图2，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P为AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：  =PE·PF 分析：线段BP、PE、PF在同一条直线BE上，无法用相似三角形来证明。连结PC，可得BP=PC，故可用PC来替换BP。 证明：连结PC， ∵△ABC中，AB=AC，AD是中线 ∴AP平分∠BAC ，∠BAP=∠CAP ∴△BAP≌△CAP， ∴BP=CP，∠ABP=∠ACP 又∵CF∥AB ∴∠ABP=∠F ∴∠ACP=∠F ∴△PCF∽△PEC ∴  ， =PE·PF而 BP=CP ∴ =PE·PF将某线段用与其相等的线段替换，以便能构成相似三角形，这是证明线段比例式和等积式的基本方法之一。 1．2 等积转化法 例3、如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB=AF·AC  分析：待证结论中的线段虽然能构成△ABC与△AEF，但不能找到相似条件。注意到题目中的垂直关系较多，联系课本中的“母子相似形”这一基本图形的有关结论，可将待证结论转化。 证明： ∵AD⊥BC， DE⊥AB ∴Rt△ADB∽Rt△AED ∴  ， =AB·AE同理， =AF·AC∴AE·AB=AF·AC “母子相似形”这一基本图形是教材中的例题，它的基本结论有如下几个：如图，在Rt△ABC中CD⊥AB于D，则有  ① △ABC∽△ACD∽△CBD ②  =BD·AD， =AD·AB， =BD·AB③ CD·AB= BC·AC 要特别注意这些结论的灵活运用。 1．3 等比转化法 例4、已知如图4,CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F，求证：AC∶BC=DF∶CF   分析：将结论改写为：  ，横看，分子不能构成两个三角形；竖看，虽依“三点形法”有△ABC与△DCF，但它们显然不相似，只能另寻突破口。注意到“母子相似形”这一重要的基本图形，有 ，故只需证 ，即证△FDC∽△FAD。证明：∵在Rt△ABC中，CD⊥AB ∴∠B=∠ACD， ∵△ACD∽△CBD ∴ 又∵E为Rt△CDB中BC的中点 ∴DE=BE=CE，∠B=∠EDB=∠ADF ∴△FDC∽△FAD ∴ ∴ 即AC∶BC=DF∶CF以上几种方法都是利用比例的基本性质对待证结论进行的等价转化,这种转化是相似形中最常用的一种变形。 2 巧用合比性质 当待证结论经转化后，其形式与合比性质相似，这时应再次运用合比性质将结论进一步转化，直至找到相似三角形。 例5、已知如图5,在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF   分析：欲证：DC·DF=BD·CF 即证：  即证：  若连结AF，则AF=DF 故即证：  只需证△FAB∽△FCA 证明： 连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD 又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD ∴∠B=∠CAF ∴△FAB∽△FCA，以下证明略。 3 巧用等比性质 例6、如图6，I是△ABC三个内角平分线的交点，AI交对边于D，求证：    分析：观察等式右边，可用合比性质或等比性质转化。但若用合比性质进行转化，左边不易转化，故考虑用等比性质转化待证结论。 欲证： 即证：  由于BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB， 故有：  由等比性质，得证。 注：本题证明过程中应用了角平分线的性质，即如图7，若AD平分∠BAC，则   
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