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巧设参数解赛题一例

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    巧设参数解赛题一例
    湖北省黄石市下陆中学702班 施 琪 指导老师:周国强
    我在《新帮手》一书中看到这样一道赛题:
    某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动,甲 、乙二人都急于上楼办事,因此在乘扶梯的同时匀速登梯,甲登了55级后到达楼上,乙登梯速度是甲的2倍(单位时间内乙登楼级数是甲的2倍),他登了60级到达楼上,那么,由楼下到楼上自动扶梯级数是多少?(北京市竞赛题)
    想了好一阵子,没门。老师提示我:有些赛题隐含一些未知的常量,这些量对于求解无直接联系,如果不指明这些量的存在,则难求其解,因而需把这些未知的常量设为参数,即辅助未知数,作为桥梁帮助思考.我又和几个同学探讨出了下面两种解法,想和读者一起共同体会一下设参数解赛题的滋味.
    解法1此类问题如同轮船在江河中顺水航行,将扶梯速度看成流水的速度,将登梯人看成轮船,那么从楼下到楼上的速度=扶梯的速度+登梯人在静止扶梯上登梯的速度.设登梯人甲在静止扶梯上登梯的速度为a,登梯人乙在静止扶梯上登梯的速度为b,扶梯运动的速度为c,则甲在运动的扶梯中上楼的速度为(a+c),乙在运动的扶梯中上楼的速度为(b+c),由题意知b=2a,又设甲从楼下到楼上用时x,乙从楼下到楼上用时y,则从楼下到楼上扶梯的级数是(a+c)x或(b+c)y,所以,有(b+c)y=(b+c)y,即x:y=(b+c):(a+c)=(2 a+c):(a+c)(1),且有a x=55(2)及2 a y=60(3),由(2)、(3)得x:y=11:6(4),由(1)和(4),得11a+11 c=12 a+6 c,即a:c=5:1,即甲登梯的速度是扶梯自身运动速度的5倍,因为扶梯和人是同时运动的,所以当甲登55级到楼上时,扶梯自身运动了55×=11(级),故从楼下到楼上扶梯的级数是55+11=66级.
                                                 
    解法2:先假设如果扶梯不运动,那么甲乙二人分别登55步和60步都是到不了楼上的,设甲从楼下到楼上用时x,乙从楼下到楼上用时y,甲登楼的速度为a,乙登楼的速度为2a,依题意,有a x=55及2 a y=60,由这两式可知,他们登楼的时间关系式为:y= x  (1);再考虑扶梯运动的情形:甲登55步(或乙登60步)之所以能到达楼上,(设从楼下到楼上有m级扶梯),是因为余下的扶梯的级数(m-55)或(m-60)是由扶梯自已运动上去的(如图所示),由于人和扶梯是同时开始运动且扶梯运动的速度是匀速的,所以 (2),将(1)代入(2),解得,m=66(级).
    :此文发表于<中学生数学>初中版2009年第8期. (责任编辑:admin)
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