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圆中的分类讨论

http://www.newdu.com 2024/11/26 11:11:12 人民教育出版社 佚名 参加讨论


    圆中的分类讨论
    湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬
    由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。
    一、点与圆的位置关系不唯一性
    例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（   ）。
    （A）   （B）  （C）或    （D）a+b或a－b
    分析：P可能在圆内，也可能在圆外。
    　　　　　       
    图1—1                      图1—2
    ⑴P在圆内时。如图1—1。
    连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。
    则PA=a，PB=b  直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b）
    ⑵P在圆外时。如图1—2。
    此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b）
    由⑴⑵可知，应选（C）。
    二、弦与弦的位置关系不唯一性
    例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（   ）。
    （A）7cm    （B）8cm   （C）7cm或1cm     （D1cm
    分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。
    　　　　　　　　　　　　
            图2—1                         图2—2
    ⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。
    过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。
    ∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD
    由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm
    在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm
    ∴MN= OM－ON=4－3=1 cm
    ⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。
    此时，MN=OM+ON=4+3=7cm        故选（C）。
    例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。
    分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。
    　　　　　
    ⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1。
    连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=
    ∴OC+OD=AC ∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45°
    又OA=OD=AD，∴∠DAO=60°
    ∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°
    ⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。
    此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°
    　三、点在直径上的位置不唯一性
    例4．已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？
    分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。
    
    ⑴M在半径OA上。如图4—1。
    连接OC。OC=OA=AB=5cm，  又OM：OA=3：5，∴OM=3cm
    ∵AB是直径，弦CD⊥AB    
    ∴在Rt△OMC中，  MC==4cm
    又AM=OA－OM=2cm
    ∴在Rt△AMC中，AC===2（cm）
    ⑵M在半径OB上。如图4—2.
    此时，AM=OA+OM=8cm
    AC===4（cm）
    四、弦所对圆周角的不唯一性
    例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（   ）。
    30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°
    （A）       
    （B）      分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，
    因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。
    如图5。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。
    
    由AB=0A=OB，∴∠AOB=60°
    ∴∠ACB=∠AOB=30°
    ∠ADB=（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°   故选（D）
    　五、圆与圆的位置关系不唯一性
    例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（   ）。
    5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm
    （A）       
    （B）      分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。
    　　　　　　          
    ⑴两圆外切。如图6—1。AB=8+3=11cm
    ⑵两圆内切。如图6—2。AB=8－3=5cm    故选（D）
    　六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性
    例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为           。
    分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。
    
    ⑴圆心在公共弦的异侧。如图7—1。
    连接OA，OA。由圆的对称性，O O垂直平分公共弦AB。 ∴AD=AB=3
    在Rt△A OD中，OD==4
    在Rt△A OD中，OD==
    ∴O O= OD+ OD=4+
    ⑵圆心在公共弦的同侧。如图7—2。
    此时，O O= OD－ OD=4－
    故这两个圆的圆心距为4+或4－。
    （发表于《小博士报·中学辅导》） (责任编辑：admin)
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