三角形中角平分线形成的角的三个小结论
http://www.newdu.com 2024/11/26 09:11:58 人民教育出版社 佚名 参加讨论
三角形中角平分线形成的角的三个小结论 湖北省黄石市下陆中学802班 成昌力（14岁） 指导教师：陈 勇 学习三角形角平分线的知识时,我发现了三个有趣的结论，让大家一起来看看吧！ 例1 如图1，已知△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE相交于点O，求证：∠BOC= 90°+  ∠A。  解：∵BD平分∠ABC ∴∠ABC=2∠ABD=2∠DBC 同理：∠ACB=2∠ACE=2∠ECB. 在△BOC中，∠BOC+∠DBC+∠ECB= 180°， ∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB) ∵在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB= 180°, ∴∠ABC+∠ACB =180°-∠A ∴2∠DBC+2∠ECB =180°-∠A ∴∠DBC+∠ECB =90°- ∠A∴∠BOC=180°-(90°- ∠A)即∠BOC= 90°+ ∠A。 结论1：在一个三角形中，任意两个内角的角平分线相交形成的钝角等于90°加上第三个角的一半。 例2 如图2，已知BO平分∠EBC，CO平分∠FCB，BO、CO相交于点O，探究∠BOC与∠A的关系。  解：∵BO平分∠EBC ∴∠EBC=2∠CBO=2∠EBO 同理：∠FCB=2∠BCO=2∠FCO 又∵∠ABC+∠EBC=180° ∴∠ABC=180°-∠EBC=180°-2∠CBO 同理：∠ACB=180°-∠FCB=180°-2∠BCO ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠A+180°-2∠CBO+180°-2∠BCO =180° ∴∠CBO+∠BCO= 90°+ ∠A又∠BOC+∠CBO+∠BCO =180° ∴∠BOC =180°-(∠CBO+∠BCO) =180°-(90°+ ∠A) =90°- ∠A结论2：三角形两个外角的角平分线相交形成的角等于90°减去第三个外角对应的内角的一半。 例3 如图3，已知△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD，BE、CE相交于点E，探究∠E与∠A的关系。  解：∵BE平分∠ABC ∴∠ABC=2∠ABE=2∠EBC 同理：∠ACD=2∠ACE=2∠ECD 又∵∠ACB+∠ACD=180° ∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-2∠ACE 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠A+2∠EBC+180°-2∠ACE=180° ∴∠ACE-∠EBC= ∠A。 ①在△BEC中，∠EBC +∠BCE+∠E=180° ∴∠EBC +∠ACB+∠ACE+∠E =180° 即∠EBC +180°-2∠ACE +∠ACE+∠E =180° ∴∠ACE-∠EBC=∠E. ② 由①和②得：∠E= ∠A。结论3：三角形的一个内角的角平分线与另一个内角的邻补角的角平分线相交形成的角等于三角形中的第三个内角的一半。 (责任编辑：admin) |
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