形数_初中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点总结学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表-人教网-初中试卷网-中学学科网

形数

http://www.newdu.com 2024/11/26 07:11:25 人民教育出版社佚名参加讨论

    形数
    四川省筠连县第二中学　邓敬
    公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，有了很大的发展，他们用石子、沙子记数和计算。在这一时期，对“形数”的研究达到了一个高峰。
    在众多的学派中，毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，该项研究强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神，有效地印证了“凡物皆数”的观点。
    那什么是形数呢？即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数。
    1、三角形数
    毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10、…等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做“三角形数”。如图一1、2所示：

不难看出，前四个三角形数都是一些连续自然数的和，记每一个三角形数为

（i=1、2、3、…、n）则：

=1+2=3

=1+2+3=6

=1+2+3+4=10
……………

=1+2+3+…+100=5050
    ……………
    就这样，毕达哥拉斯借助生动的直观的几何图形，很快就发现了自然数的一个规律：从1开始的连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数，那么1+2+3+…+n的和即是一个三角形数，而且正好是第n个三角形数。
    ∴

=1+2+3+…+n=

(n∈

)
[例1]：如图二，前3个图形的点的个数分别是多少？第n个图形的点的个数是多少？

解：①问，前三个图形的点的个数分别是3、6、10。
②问，因为3、6、10、15…等数恰好构成三角形数，记第n个图的点为

，则

=1+2+3+…+(n+1)=

(n+1)=

[例2]：古希腊数学家把数1、3、6、10、15、21…，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形的差为
解：

=1+2+…+24

=1+2+…+22
∴

—

=23+24=47     故应填：47
    2、正方形数
    毕达哥拉斯还发现，当小石子的数目是1、4、9、16、…等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”。如图三1、2所示：

分别记各图所示的小石子个数为

(i=1、2、…、n)不难发现：a₁=1=1²

=1+3=4=

=1+3+5=9=

=1+3+5+7=16=

……………

=1+3+5+…+(2n-1)=

毕达哥拉斯，通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续的奇数之和是完全平方数。毕达哥拉斯，还给出了一个定理：两个相邻三角形数之和是正方形数，
即

（n+1）+

(n+2)=

[例1]：如图四：计算1+3+5+7+9+11+13+15的值

    解：观察图知道1、1+3、
    1+3+5构成正方形数
    ……
    1=

1+3=

1+3+5=

∴

=1=

=1+3=

=1+3+5=

……………

=1+3+5+…+(2n-1)=

∴

=1+3+5+…+15=

=64
    3、长方形数
    当小石子的数目是偶数2、6、12、20等数时，小石子都能摆成长方形，毕达哥拉斯把这些数叫做长方形数（或矩形数）。如图五

分别把每一个长方形数记作：

(i=1、2、3、…、n)

=2+4=6

=2+4+6=12

=2+4+6+8=20
……………

=2+4+6+8+…+2n =

=n(n+1)
即，由序列：N=2+4+6+8+…+2n=n(n+1) (n∈

)给出的数叫长方形数。每个长方形数都等于某三角形数的2倍。
    4、五边形数
    当小石子的数目是1、5、12、22、…等数时，小石子都能摆成正五边形，毕达哥拉斯把这些数叫做“五边形数”如图六所示：

分别把每一个五边形数记作：

(i=1、2、…、n)

=1+4=5

=1+4+7=12

=1+4+7+10=22
……………

=1+4+7+…+(3n-2)=

    5、六边形数
    当石子数目为1、6、15、28等数时，小石子都能摆成六边形，毕达哥拉斯把这些数叫做“六边形数”如图七所示：

分别把每个六边形记作

(i=1、2、3、…、n)

=1+5=6

=1+5+9=15

=1+5+9+13=28
……………

=1+5+9+13+…+(4n-3)=

n=2

-n
    根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数，毕达哥拉斯学派的学者还通过这一过程，将这种数形结合的思想推广到三维空间去构造多面体数。
    [练习] 1、Ⅰ如图八所示，前三图中各有多少个三角形？
    Ⅱ你能否找出其中的规律，用式子表示第n个图中有多少个三角形？

[答案]：前三图中各有3、6、10个三角形。
∵3、6、10等数恰好构成三角形数，把每一个图形的三角形数记为

(i=1、2、3、…、n)，则

=1+2=3

=1+2+3=6

=1+2+3+4=10
……………

=1+2+3+…+（n+1）=

[练习] 2、把正方体摆成如图九所示的形状，从上向下数第一层1，个第二层3个，…，按这个规律摆放，第五层的正方体个数是：（）

    A、10    B、12   C、15    D、20
    [答案]：经观察：
    第一层：

=1，
第二层：

=3，
第三层：

=6 ，
第四层：

=10
    由此可知，1、3、6、10属三角形数，
    则第五层：

=1+2+3+4+5=15
    故选C
    [练习]3、如图十所示，若以点O为端点的射线有n条，则共组成多少个角？

    [答案]：当有1条射线时：有角3=1+2个
    当有2条射线时：有角6=1+2+3个
    当有3条射线时：有角10=1+2+3+4个
    当有4条射线时：有角15=1+2+3+4+5个
    ∵3、6、10、15…恰好构成三角形数。
    ∴当有n条射线时：有角1+2+3+…+（n+1）=

（n+1）=

个
    [练习]4、某班共有学生m人，在春节期间，每个同学都与其他同学通电话一次来互致新春的祝福，求该班m个同学共通话多少次？
    [答案]：2人通话       1次
      3人通话       3=1+2次
    4人通话       6=1+2+3次
    5人通话      10=1+2+3+4次
    ∵1、3、6、10、…恰好构成三角形数。
    ∴当有m个学生时：通话1+2+3+…+（m-1）=