初中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点总结学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表-人教网-初中试卷网-中学学科网

首页 > 初中数学 > 解题技巧 >

巧用比例性质，解证比例线段

http://www.newdu.com 2024/11/26 06:11:02 人民教育出版社 佚名 参加讨论


    巧用比例性质，解证比例线段
    江苏省东台中学实验初中 周礼寅
    
    比例的三条性质，是相似形中证明比例线段问题的基本依据，若能灵活加以应用，则可减少思维障碍，迅速打开解题突破口。
    1        巧用基本性质
    “三点形法”是证明线段等积的最常用也是最有效的方法。它是根据比例的基本性质，将等积式转化为比例式，找出其中包含的几个字母，是否存在可由“三点”定出的两个相似三角形。
    例1、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=，AB=AC，D为BC中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=，（1）求证：BD·BC=BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF∶FD的值。
    
    分析：（１）将待证的等积式化为比例式：，横看：比例式的两个分子为B、D、E三点，两个分母为B、G、C三点，均不能构成相似三角形；竖看：比例式左端BD、BG构成△BDG，右端BE、BC构成△BEC，依“三点形法”只需证△BDG∽△BEC；（2）、（3）分析略。
    在运用“三点形法”时，首先要化等积式为比例式，然后再横看看、竖看看，找到相似三角形进而证明。但有时将等积式化为比例式后无法再用“三点形法”，此时还需运用以下三种常用的转化方法进行证明：
    1．1  等线段转化法
    例2、如图2，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P为AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：=PE·PF
    
    分析：线段BP、PE、PF在同一条直线BE上，无法用相似三角形来证明。连结PC，可得BP=PC，故可用PC来替换BP。
    证明：连结PC，
    ∵△ABC中，AB=AC，AD是中线
    ∴AP平分∠BAC ，∠BAP=∠CAP
    ∴△BAP≌△CAP，
    ∴BP=CP，∠ABP=∠ACP
    又∵CF∥AB
    ∴∠ABP=∠F
    ∴∠ACP=∠F
    ∴△PCF∽△PEC
    ∴，=PE·PF
    而 BP=CP
    ∴=PE·PF
    将某线段用与其相等的线段替换，以便能构成相似三角形，这是证明线段比例式和等积式的基本方法之一。
    1．2  等积转化法
    例3、如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB=AF·AC
    
    分析：待证结论中的线段虽然能构成△ABC与△AEF，但不能找到相似条件。注意到题目中的垂直关系较多，联系课本中的“母子相似形”这一基本图形的有关结论，可将待证结论转化。
    证明：
    ∵AD⊥BC， DE⊥AB
    ∴Rt△ADB∽Rt△AED
    ∴，=AB·AE
    同理，=AF·AC
    ∴AE·AB=AF·AC
    “母子相似形”这一基本图形是教材中的例题，它的基本结论有如下几个：如图，在Rt△ABC中CD⊥AB于D，则有
    
    ①  △ABC∽△ACD∽△CBD
    ②  =BD·AD，
    =AD·AB，
    =BD·AB
    ③ CD·AB= BC·AC
    要特别注意这些结论的灵活运用。
    1．3  等比转化法
    例4、已知如图4,CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F，求证：AC∶BC=DF∶CF
    
    分析：将结论改写为：，横看，分子不能构成两个三角形；竖看，虽依“三点形法”有△ABC与△DCF，但它们显然不相似，只能另寻突破口。注意到“母子相似形”这一重要的基本图形，有，故只需证，即证△FDC∽△FAD。
    证明：∵在Rt△ABC中，CD⊥AB
    ∴∠B=∠ACD，
    ∵△ACD∽△CBD
    ∴
     又∵E为Rt△CDB中BC的中点
    ∴DE=BE=CE，∠B=∠EDB=∠ADF
    ∴△FDC∽△FAD
    ∴
    ∴   即AC∶BC=DF∶CF
    以上几种方法都是利用比例的基本性质对待证结论进行的等价转化,这种转化是相似形中最常用的一种变形。
    2        巧用合比性质
    当待证结论经转化后，其形式与合比性质相似，这时应再次运用合比性质将结论进一步转化，直至找到相似三角形。
    例5、已知如图5,在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF
    
    分析：欲证：DC·DF=BD·CF
    即证：
    即证：
    若连结AF，则AF=DF
    故即证：
    只需证△FAB∽△FCA
    证明：
    连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA
    ∵AD平分∠BAC
    ∴∠BAD=∠CAD
    又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD
    ∴∠B=∠CAF
    ∴△FAB∽△FCA，以下证明略。
    3        巧用等比性质
    例6、如图6，I是△ABC三个内角平分线的交点，AI交对边于D，求证：
    
    分析：观察等式右边，可用合比性质或等比性质转化。但若用合比性质进行转化，左边不易转化，故考虑用等比性质转化待证结论。
    欲证：
    即证：
    由于BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
    故有：
    由等比性质，得证。
    注：本题证明过程中应用了角平分线的性质，即如图7，若AD平分∠BAC，则
    
    

    (图7)
    
 
相似三角形中比例线段的证明方法很多，也很灵活。我们只有在平时学习中主动探究，合作交流，注重总结，举一反三，这样才能真正做数学学习的主人。 (责任编辑：admin)
    最近关注
    热点内容