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直角三角形内切圆的推广

http://www.newdu.com 2024/11/26 07:11:10 人民教育出版社 佚名 参加讨论

直角三角形内切圆的推广     湖北省云梦县沙河中学 许昌     我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现若有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。     已知：在Rt⊿ABC中，⊙O1­ ,⊙O2­两等圆外切于H, ⊙O1­ 切AC、AB于D、E两点，⊙O2 切BC、AB于F、G两点，若AC=4,BC=3，求⊙O1­与⊙O2的半径。          解：连接O1­ A, O1­ D, O1­ E, O1­ C, O1­ O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1­ G,过C作CI⊥AB交AB于I,交O1­ O2于J     设⊙O1­与⊙O2的半径为r     ∵⊙O1­ ,⊙O2­两等圆外切于H, ⊙O1­ 切AC、AB于D、E两点，     ⊙O2 切BC、AB于F、G两点     ∴O1­ D⊥AC , O1­ E⊥AB, O2 G⊥AB, O2 F⊥BC     S⊿AO­1C=AC·O1D=2r    S⊿BO­2C=BC·O2F=1.5r     S⊿AO­1G+ S⊿O­2GB =AG·O1E+GB·O2G=r(AG+ GB)=2.5r     又∵CI⊥AB交AB于I,交O1­ O2于J       ∴CJ+ O2G = CJ+JI=CI   CI==2.4     S⊿CO­1 O­2+ S⊿O­1 O­2G = O1­ O2·CJ+ O1­ O2·O2G= O1­ O2·CI=2.4r     即S⊿ABC= S⊿AO­1C+ S⊿BO­2C+ S⊿AO­1G+ S⊿O­2GB+ S⊿CO­1 O­2+ S⊿O­1 O­2G==6     8.4r=6 ,   r=     现推广到一般情况在Rt⊿ABC中∠C=90°，⊙O1­ ,⊙O2…⊙On­(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1­ 切AC、AB,⊙On 切BC、AB, 若AC=b,BC=a,求⊙O1­ ，⊙O2 ,…⊙On的半径。          解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1­ ，⊙O2 ,…⊙On的半径为r             S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)     = br+ar+r+×2(n-1)r     又∵S⊿ABC =ab     ∴r= (责任编辑：admin)

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