初中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点总结学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表-人教网-初中试卷网-中学学科网

首页 > 初中数学 > 解题技巧 >

一元二次方程根的判别式的综合应用

http://www.newdu.com 2024/11/26 07:11:49 人民教育出版社 佚名 参加讨论


    一元二次方程根的判别式的综合应用
    四川省武胜县中心镇小学初中部　曹建局
    　一、知识要点：
    1.  一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.
    定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.
    定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.
    2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.
    定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.
    定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.
    注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.
    　二.根的判别式有以下应用：
     
    ①  不解一元二次方程，判断根的情况。
    例1．  不解方程，判断下列方程的根的情况：
    (1)         2x2+3x-4=0　(2)ax2+bx=0(a≠0)
    解：(1) 2x2+3x-4=0
    　a=2, b=3, c=-4,
    ∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0
    ∴方程有两个不相等的实数根。
    (2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
    ∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,
    ∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
    ∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根。
    ②  根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
     
    例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
    分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；
    解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k
    （1）∵方程有两个不相等的实数根，
    ∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9
    （2）∵方程有两个不相等的实数根，
    ∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9
    （3）∵方程有两个不相等的实数根，
    ∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9
    ③  证明字母系数方程有实数根或无实数根。
     
    例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
    分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
    证明：　　Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
    =4m2-4(m4+5m2+4)
    =-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
    =-4(m2+2)2
    ∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,
    ∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0.
    ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
    小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
    （1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
    ④  应用根的判别式判断三角形的形状。
     
    例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。
    证明：整理原方程：
    方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0.
    整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0
    (c+b)x2-2ax +cm-bm=0
    根据题意：
    ∵方程有两个相等的实数根，
    ∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0
    4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0
    ma2-c2m+b2m=0
    ∴Δ=m(a2+b2-c2)=0
    又∵ m>0,　　∴a2+b2-c2=0　　∴a2+b2=c2　　又∵a,b,c为ΔABC的三边，　　∴ΔABC为RtΔ。
    ⑤   判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
    例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）;
    （2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;
    分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ=0
    解：（1）令16a2+ka+1=0
    ∵方程有两个相等的实数根，
    ∴Δ=k2-4×16×25=0
    ∴k=+40或者-40
    （2）令ka2+4a+15=0
    ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0  ∴k=4
    ⑥  可以判断抛物线与直线有无公共点
     
    例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？
    解:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0
    ，∵抛物线与直线只有一个交点，
    ∴Δ＝0，即　4m+5=0      ∴     
    (  说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)
     
    ⑦  可以判断抛物线与x轴有几个交点
     
    分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点  （１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：  
     ①  当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。   
    ②当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。   
    ③当 时，抛物线与x轴没有交点。
    例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
    　（１）　　　（２） 　　　（３）
     解：（１）Δ＝16-12=4>0    ∴抛物线与x轴有两个交点。
    　　　 （２）Δ＝36-36=0      ∴抛物线与x轴只有一个公共点。
    　　　  （３）Δ＝4-16=-12<0   ∴抛物线与x轴无公共点。
    例8、已知抛物线
     （１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？
     （２）当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。
    　 （３）当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？
    解：令y=0，则　　　Δ＝4-4(m-1)= -4m+8
    　   (1)∵抛物线与x轴有两个公共点，　∴Δ>0，即 – 4m+8>0       ∴m<2
    　   (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点，　∴Δ＝0，即 –4m+8=0    ∴m=2
      　　 当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。
    (3)∵抛物线与x轴没有公共点，　∴Δ<0，即　－4m+8<0，　∴m>2
      ∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。
    ⑧  利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.
     
    分析:抛物线 （Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：
    　 例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。
    　 解：令y=0，得方程，设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2，则　由　得，即。进而得　　∴a=或a=。    ∴当时，图象与x轴两个交点间的距离是3。 (责任编辑：admin)
    最近关注
    热点内容