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父与子


    父与子
    阿诺德、巴顿、克劳德和丹尼斯都是股票经纪人,其中有一人是其余三人中某一人的父亲。一天,他们在证券交易所购买股票的情况是:
    (l)阿诺德购买的都是每股3美元的股票,巴顿购买的都是每股4美元的股票,克劳德购买的都是每股6美元的股票,丹尼斯购买的都是每股8美元的股票。
    (2)父亲所购的股数最多,他花了72美元。
    (3)儿子所购的股数最少,他花了24美元。
    (4)这四个人买股票总共花了161美元。
    在这四个人当中,谁是那位父亲?谁是那位儿子?
    (提示:根据(1)和(4)列出一个方程。依次假定某个人是那位父亲或者是那位儿子,则这个人买了多少股?如果一个数是方程中五项中四项的因数,则它必定也是第五项的因数。)
      答 案
    设
    a为阿诺德所购的股数,
    b为巴顿所购的股数,
    c为克劳德所购的股数,
    d为丹尼斯所购的股数。
    于是,根据(1)和(4),就这四人购买股票总共所花的钱可写出方程:
    3a+4b+6c+8d=161。
    假定阿诺德是那位父亲,则根据(1)和(2),他买了24股;假定巴顿是那位儿子,则根据(1)和(3),他买了6股。如此等等,共有十二种可能,列表于下。
    

    父亲(花了72美元)
    

    儿子(花了24美元)
    

    Ⅰ
    

    a=24
    

    b=6
    

    
    Ⅱ
    

    
    a=24
    

    c=4
    

    
    Ⅲ
    

    
    a=24
    

    d=3
    

    
    Ⅳ
    

    
    b=18
    

    a=8
    

    
    Ⅴ
    

    
    b=18
    

    c=4
    

    
    Ⅵ
    

    
    b=18
    

    d=3
    

    
    Ⅶ
    

    
    c=12
    

    a=8
    

    
    Ⅷ
    

    
    c=12
    

    b=6
    

    
    Ⅸ
    

    
    c=12
    

    d=3
    

    
    Ⅹ
    

    
    d=9
    

    a=8
    

    
    Ⅺ
    

    
    d=9
    

    b=6
    

    
    Ⅻ
    

    d=9
    

    c=4
    
  注意:(A)a、b、c、d都是正整数,(B)如果一个整数能整除一个具有五个项的方程中的四项,则它也一定能整除其中的第五项。
    根据上述的(B),a不能等于24或8,因为161不能被2整除。如果d等于3则b不能等于18,如果b等于6则d不能等于9,因为161不能被3整除。因此,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ、和Ⅺ都被排除。
    如果d=9,c=4.则3a+4b=65.这样,a或b要大于9,从而与(2)矛盾。如果c=12,b=6则3a+8d=65。这样,a或d要小于6,从而与(3)矛盾。因此,Ⅷ和Ⅻ被排除。
    如果b=18,c=4.则3a+8d=65。3a必须是奇数,因为8d是偶数而65是奇数(偶数乘以任何整数总得偶数,偶数加上奇数总得奇数)。
    于是,a必须是4和18之间的一个奇数(奇数乘以奇数总得奇数)。这里唯一能使d取整数的是a=11。这意味着d=4,但这与(3)矛盾。因此,V被排除。
    剩下唯一的可能是Ⅸ,因此,克劳德是那位父亲,丹尼斯是那位儿子。
    通过进一步分析,可以得出a、b、c、d的两组可能值。由c=12,d=3,得3a+4b=65。根据与前面同样的推理,a必须是3和12之间的一个奇数。这里能使b取整数的只有a=7和a=11。于是得到这样两组可能的值:
    

    a=7
    

    a=11
    

    
    b=11
    

    
    b=8
    

    
    c=12
    

    
    c=12
    

    
    d=3
    

    
    d=3
    
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