2018中考数学二轮复习有理数运算法则知识专题总结
http://www.newdu.com 2024/11/24 11:11:22 三好网 佚名 参加讨论
在2018年中考二轮复习中，初三考生要紧紧把握中考考试重点，形成自己的知识脉络体系。小编整理出2018年中考数学二轮复习专题，有理数运算法则知识专题总结如下：  一、有理数 1、定义： 有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。  3、使用注意： (1)有理数常按正数，零，负数分类可以和数轴集合起来哦。 (2)整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n (n为整数)表示； 奇数一般用2n-1或2n+1 (n为整数)表示． (3)正数和零常称为非负数．负数和零常称为非正数. (4)0和正整数统称为自然数。 (5)相反意义的量：上升与下降；盈利与亏损；多与少；前进与后退； 若规定向右为正，则向左为负等。 二、数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 一般规定从原点方向向右为正方向． （数轴是几何与代数的简单结合，也称数形结合。） 2、应用注意： (1)数轴的三要素：原点、正方向（通常取向右为正方向）、 单位长度（人为规定）．同一数轴中单位长度一旦确定就不能 再改变。 (2)数轴上的点所表示的数，以零为界，零的左边表示负数， 零的右边表示正数． (3)每个有理数都可以在数轴上找到相应的点．但不能说数轴上 的点代表了每个有理数.（因为除了表示有理数的点外还有表示 无理数的点。） (4) 通过数轴我们可以直观的看到数字的大小关系； 数轴上表示的数，右边的一定比左边的大．右边的数字减去左边 的数字，结果一定为正数.反之，左边的数字减去右边的数字， 结果一定为负数。 可以用来判断两数的差的正负性。 (5)直线是一条可以向两边无限延伸的，故可以通过数轴知道没 有最大的数，也没有最小的数。 (6)若数轴上一定点沿数轴运动，那么向右平移则加上平移单位 就可得到平移后的点对应的数字，向左平移则减去平移单位就可 得到平移后的点对应的数字。 (7)数轴还能表示数的集合（解集） 三、相反数 1、定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 零的相反数是零．例如：3和-3；a和-a就是互为相反数． 2、使用注意： 如果a与b互为相反数，则有： ①.相反数是成对出现的，不能单独出现。可以说2是-2的相反数， 但不能说-2是相反数。 ②.要把"相反数“与”相反意义的量“区分开来，"相反数”不但 是数的符号相反，而且符号后面的数字必须相同，而“具有相反 意义的量”只要符号相反即可，表示相反意义的量不一定是相反 数。 例如：温度上升2℃与温度下降3℃不是相反数。 ③.a+b=0 （可以看做是方程），a=-b；反之亦成立．看到0要能 考虑到是两个互为相反数的数字之和. 例：2+（-2）=0；如果x+5=0，那么x就是5的相反数-5，即x=-5. ④. a-b=2a（互为相反数的两数的差等于被减数的2倍） 例：5-（-5）=10=2×5；-5-5=-10=2×（-5）  ⑨.代数式a+b的相反数是-a-b； 代数式a-b的相反数是b-a即（-a+b）. ⑩. 在化简多重符号时应注意：一个正数的前面有偶数个“-”时， 可以化简为这个数字本身。 例如：-[-(6)]=6（按照有理数乘法法则，同号得正，异号得负.） 在化简多重符号时应注意：一个正数前面有奇数个“-”号时，可以 化简成为这个数的相反数。 例如： -(+5)=-5 -{-[-(8)]}=-8 数字a的相反数是-a，-a的相反数是a。这里的a不一定是正数， 所以-a也不一定就是负数。 若a＞0，则-a＜0；若a＜0，则-a＞0. 相反数是本身的只有0. a与b在数轴上的位置关于原点对称。 四、倒数 1、定义：1除以一个不为零的数的商，叫做这个数的倒数． 如：3的倒数是1/3． 2、使用注意： (1)如果a与b互为倒数，则有ab=1，且两数同号（有理数乘法法则）， 反之亦成立． (2)倒数等于本身的数是1和-1． (3)零没有倒数 (4)若ab= -1， a、b互为负倒数. 看到1要能想到是两个互为倒数的数字的乘积. 五、绝对值——对于初一学生来说理解和应用都有难度。 1、定义：一个数a的绝对值是在数轴上表示数a的点与原点的距离 （距离不可能小于0），数a的绝对值记做|a|．（注意符号书写要规范）； 0的绝对值是0； 2、几何意义：任意数字的绝对值表示该数字在数轴上对应点到原点 的线段长度。 3、代数意义：正数和零的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的 相反数．  4、使用注意： (1) |a|是重要的非负数，即|a|≥0； |a|·|b|=|a·b或者 |m|=|a·b| =|a|·|b| （m分成两数的乘积） (2)零的绝对值是它的本身，也可看成它的相反数， 如：若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0． (3)正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小（离开远点更远）． (4)|a-b|表示了数轴上的点a到点b的距离.无论两点的位置. |a+2|=|a-(-2)|表示点a到点-2的距离. |3-9|表示3到9 的距离；|9-3|表示9到3的距离； |2＋5|=|2-（-5）|表示2到-5的距离。 (5)如果两个非负数之和等于零，那么这两个非负数必须同时为零. 常见的非负数有一个数的绝对值、有理数的偶次幂等。 (6) 互为相反数的绝对值相等。即若两个数的绝对值相等，那么这 两个数相等或互为相反数。 若|a|=|b|=3，则a=b=3（a-b=0）或a=-b（a+b=0） 5、有关绝对值计算的注意事项： ①如果把两个苹果记为-2，把五个甜桃记为+5，问：一共有几个水果， 计算方法是两个数的绝对值相加，也就是7个水果。 如果问桃子和苹果数字差是多少，计算方法是相对数相加，是+3。 ②如果把蜗牛向东行走2厘米记为+2，把向西走3厘米记为-3， 问：蜗牛一共走了多少厘米，计算方法是两个数的绝对值相加， 也就是|+2|+|-3|=5厘米。 ③如果把零上10度记为+10，把零下5度记为-5，问：一共上下差多少度， 计算方法是两个数的绝对值相加，也就是15度。 ④若题中没有规定什么是正， 如：交通警察沿南北街道巡逻先向南20米，再向北50米. 做这类题前必须写：记什么为正，一般不用写另一个， 因为不是正就是负，知道一个就可以。 6、有关绝对值题目解答格式： 例：已知|a-3|+|5+b|=0，求a、b的值。 （凡是在一个方程里面有多个未知数且没有其他条件时， 都要考虑非负数之和为零的情景.） 解：由题意知：|a-3|=0且|5+b|=0 ∴a-3=0 5+b=0（零的绝对值等于零） ∴a=3 b=-5 练习题：已知|a-4|+（5+b）2=0，求3a+0.35b的值. 有关绝对值的化简题，实质上是判断绝对值符号中的代数式的值的 正负性。 （1）已知a>0，b<0，化简：|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1| 解∵a>0， b<0 ∴6-5b>0 3a-2b>0 6b-1<0 ∴|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1| =6-5b-(3a-2b)-(1-6b) =6-5b-3a+2b-1+6b =-3a+3b+5 （2）已知1<a<3，化简：|1-a|+|3-a|+|a-5| 解：∵1<a<3 ∴1-a<0 3-a>0 a-5<0 ∴|1-a|+|3-a|+|a-5| =a-1+3-a+5-a =-a+7 六、有理数比大小 （1）正数的绝对值越大，这个数越大，其在数轴上对应点的距离原点越远； （2）负数的绝对值越大，这个数越小，其在数轴上对应点的距离原点越远； （3）正数永远比0大，负数永远比0小；正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数－小数＞0，小数－大数＜0. 七、有理数的运算 1、有理数加法法则 要求对绝对值的应用非常熟练，解题注意书写格式。 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 若a>0，b>0，则a＋b=︱a︱＋︱b︱ （和比每个加数都大） 若a<0，b<0，则a＋b= －(︱a︱＋︱b︱) （和比每个加数都小） （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；所得结果比正数小，比负数大。 若a>0，b<0，︱a︱>︱b︱， 则a＋b=︱a︱－︱b︱ 若a>0，b<0，︱a︱<︱b︱， 则a＋b= －(︱b︱－︱a︱) 若a、b互为相反数，则a＋b=0 （3）一个数与0相加，仍得这个数。 即a是任意一个有理数，则a＋0=a 2、有理数加法的运算律及口诀 （1）加法的交换律：a＋b=b＋a ； （2）加法的结合律： （a＋b）＋c=a＋（b＋c）. 口诀：①同号相加一边倒； ②异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑； ③绝对值相等“零”正好。 【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 3、有理数减法法则 （1）减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a－b=a＋（－b）. （2）加负等于减正，减负等于加正，减正等于加负 例如：3+（﹣2）=3-2 2+（﹣5）=2-5 ﹣3+（﹣2）=﹣3-2 ﹣2+（﹣5）=﹣2-5 4-（-2）=4＋2 -3-（﹣6）=-3+6 7-9=7+（﹣9） -5﹣3=-5+（﹣3） 当有理数负数和相反数引入后，我们可以看做数学里面没有减法运算了。因为被减数减减数都可看作是被减数加原来减数的相反数。 4、有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； 若a>0，b>0，则 ab=＋︱a︱×︱b︱ 若a<0，b<0，则 ab=＋︱a︱×︱b︱ 若a>0，b<0，则 ab= －︱a︱×︱b︱ 若a<0，b>0，则 ab= －︱a︱×︱b︱ （2）任何数同零相乘都得零； 即a为任何有理数，则 a×0=0 （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零； 各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 负数有偶数个，结果为正；有奇数个，结果为负数； 故在计算有理数纯乘法运算时，先要数负因数的个数。若负因数有偶数个，则所有的负因数全部变成正因数，再进行运算。 若负因数有奇数个，则所有的负因数全部变成正因数，并在算式前加一负号“﹣”，再进行运算。 （-2）×5×（-5）×（-2）×（-6） =2×5×5×2×6 (－125)×(－25)×(－5)×2×(－4)×(－8) = －125×25×5×2×4×8 （-3）×（+5/6）×（-14/5）×（-4）×[-（-7/9）] =-3×（5/6）×（14/5）×（4）×（7/9） 4×(－96)×(－0.25)×1/48 =4×96×0.25×1/48 5、有理数乘法的运算律 （1）乘法的交换律：ab=ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b＋c）=ab＋ac . 6、有理数除法法则 （1）除以一个数等于乘以这个数的倒数； （2）零不能做除数，即a/0无意义. 除法运算在草稿纸上尽可能写成分数的形式，这样方便约分化简运算。 在初中数学中我们尽可能不要出现“÷”。 7、乘方的定义 （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；n个相同因数a的乘积记作：an ，其中a叫底数，n叫指数。 底数反映了相同的因式，指数反映了因式的个数 8、有理数乘方的法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 注意：当n为正奇数时： (－a)n=－an或(a－b)n=－(b－a)n ， 当n为正偶数时： (－a)n =an 或 (a－b)n=(b－a)n . 注意事项  区别易混的运算  9、混合运算法则 先乘方，后乘除，最后加减. 能简便的一定要简便 简便运算分类 小数凑整，分数凑整，互为相反数，互为倒数，先去括号再合并，纯乘法运算先数负因数的个数，分数的和与整数乘除时，根据数字情况决定“通分”与“分配律”的先后。 简便运算可以按照以下原则进行： ①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 ②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用五个运算律。 ③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一。 ④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段（以乘、除、乘方为核心，以加减运算为标志），同时分别进行运算。 八、科学记数法 把一个数记成±a×10n的形式，其中：1≤|a|＜10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法．当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪费很多空间和时间。  文章来源于网络，由编辑整理，如有侵权请及时联系删除。 (责任编辑：admin) |