|
24.证明：(1)∵△ABC、△DCE均是等边三角形， ∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， 即∠BCD=∠ACE， 在△DCB和△ACE中， ∴△DCB≌△ACE(SAS)， ∴BD=AE; (5分) (2)△CMN为等边三角形，理由如下： 由(1)可知：△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN， ∵AC=BC，AM=BN， 在△ACM和△BCN中， ∴△ACM≌△BCN(SAS)， ∴CM=CN，∠ACM=∠BCN， ∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°， ∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°， ∴△CMN为等边三角形. (10分) 五、解答题：(本大题2个小题，共22分) 25.解：(1)证明：设m=10a+8(1≤a≤9的整数) ∴m2-64=(10a+8)2-64 =100a2+160a+64-64 =20a(5a+8) ∵1≤a≤9的整数， ∴a(5a+8)为整数; ∴m2-64是20的倍数. (5分) (2)∵m=p2-q2，且p，q为正整数 ∴10a+8=(P+q)(p-q) 当a=1时，18=1×18=2×9=3×6，没有满足条件的p，q 当a=2时，28=1×28=14×2= 4×7 其中满足条件的p,q的数对有(8，6)，即28=82-62 ∴H(28)= 当a=3时，38=1×38=2×19，没有满足条件的p，q 当a=4时，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8; 满足条件的p,q的数对为： 或 或 解得： 或 或 即48=132-112=82-42=72-12 ∴H(48)= 或H(48)= 或H(48)= ∵ < < < . ∴所有“友好数对”的H(m)的最大值为 (10分) 26. 解：证明：(1)∵EN∥AD ∴∠MAD=∠N，∠ADM=∠NEM ∵M为DE的中点 ∴DM=EM 在△ADM和△NEM中 ∴△ADM≌△NEM ∴AM=NM ∴M为AN中点 (4分) (2)∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形 ∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45° ∵AD∥NE ∴∠DAE+∠NEA=180° ∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90° ∴∠NEC=135° ∵A、B、E三点在同一条直线上 ∴∠ABC=180°-∠CBE=135° ∴∠ABC=∠NEC 由(1)，知△ADM≌△NEM ∴AD=NE ∵AD=AB，∴AB=NE 在△ABC和△NEC中 ∴△ABC≌△NEC ∴AC=NC，∠ACB=∠NCE ∴∠ACB+∠BCN=∠NCE+∠BCN，即∠ACN=∠BCE=90° ∴△CAN为等腰直角三角形. (8分) (3) △CAN仍为等腰直角三角形 证明:延长AB交NE于点F，由〔1)，得△ADM≌△NEM ∴AD=NE ∵AD=AB，∴AB=NE ∵∠BAD=90°，AD∥NE ∴∠BFE=90° 在四边形BCEF中，∵∠BCE=∠BFE=90° ∴∠FBC+∠FEC=360°-90°-90°=180° ∵∠FBC+∠ABC=180° ∴∠ABC=∠FEC 在△ABC和△NEC中 ∴△ABC≌△NEC ∴AC=NC，∠ACB=∠NCE ∴∠ACB+∠BCN=∠NCE+∠BCN，即∠ACN=∠BCE=90° ∴△CAN为等腰直角三角形. (12分) (责任编辑：admin) |