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利用“截长补短”构造全等三角形 【例2】 如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求证：CD＝AD＋BC. 证明：在CD上截取DF＝DA，连结FE. 在△ADE和△FDE中， AD＝FD，∠ADE＝∠FDE，DE＝DE， ∴△ADE≌△FDE. ∴∠A＝∠DFE. 又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°. ∵∠DFE＋∠EFC＝180°. ∴∠B＝∠EFC. 在△EFC和△EBC中， ∠EFC＝∠B，∠ECF＝∠ECB，EC＝EC， ∴△EFC≌△EBC. ∴FC＝BC. ∴CD＝DF＋FC＝AD＋BC. 【方法归纳】 遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决． 3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明． 解：BC＝BE＋CD. 证明：在BC上截取BF＝BE，连结OF. ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠FBO. 又∵BO＝BO， ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB＝∠FOB. ∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC－12∠ACB＝180°－12(180°－∠A)＝120°. ∴∠EOB＝∠DOC＝60°. ∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°. ∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO. 又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF. ∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD. 4．问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF； (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 解：EF＝BE＋DF仍然成立． 证明：延长FD到G，使DG＝BE，连结AG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG. 在△ABE和△ADG中，BE＝DG，∠B＝∠ADG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG(SAS)． ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. ∵∠EAF＝12∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF. ∴∠EAF＝∠GAF. 在△AEF和△AGF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG. ∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF. (责任编辑：admin) |