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三角形内角和定理的推论
01 基础题
知识点1 几何命题的证明
1．证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题．
解：已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于M，交CD于点N.
求证：EF⊥CD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠AMN＋∠CNM＝180°.
∵EF⊥AB，
∴∠AMN＝90°.
∴∠CNM＝90°.
∴EF⊥CD.
2．证明命题“两条平行线被第三条直线所截，得到的一组同旁内角的角平分线互相垂直”是真命题 .
解：已知：如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠DHG.
求证：GM⊥HM.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BGH＋∠DHG＝180°.
∵GM平分∠BGH，HM平分∠DHG，
∴∠MGH＝12∠BGH，∠GHM＝12∠DHG.
∴∠MGH＋∠GHM＝12(∠BGH＋∠DHG)＝12×180°＝90°.
∴∠M＝180°－∠MGH－∠GHM＝180°－90°＝90°.
∴GM⊥HM.
知识点2 三角形内角和定理的推论
3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( C )
A．110° B．80° C．70° D．60°
4．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝65°，那么∠ACD等于( B )
A．60° B．80°
C．65°或80° D．100°
5．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是( A )
A．15° B．25°
C．30° D．10°
6．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
7．如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为70°．
8．如图，在△ABC中，E点是AB上的一点，DE⊥AB交AC的延长线于D点，已知∠B＝28°，∠D＝46°，求∠BCD的度数．
解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.
∵∠D＝46°，∴∠A＝44°.
∴∠BCD＝∠A＋∠B＝44°＋28°＝72°.
9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，∠BDC＝87°，求∠A的度数．
解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠ABD.
∵∠CBD＋∠C＋∠BDC＝180°，∠ABC＝∠C，
∴3∠ABD＋87°＝180°.
∴∠ABD＝31°.
∵∠CDB＝∠A＋∠ABD，
∴∠A＝87°－31°＝56°.
02 中档题
10．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为( B )
A．20° B．30° C．40° D．70°
11．如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝360°．
12．如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是125°．
13．如图所示，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝80°．
14．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是2∠A＝∠1＋∠2．
15．如图，在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD＝12∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
解：∵∠ADB＝100°，∠C＝80°，
∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝100°－80°＝20°.
∵∠BAD＝12∠DAC，
∴∠BAD＝12×20°＝10°.
在△ABD中，∠ABC＝180°－∠ADB－∠BAD＝180°－100°－10°＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝12∠ABC＝12×70°＝35°.
∴∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝10°＋35°＝45°.
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，AF平分外角∠BAD，BE与FA交于点E，求∠E的度数．
解：设∠ABC＝x°，
∵∠BAD是△ABC的外角，∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＋∠C＝90°＋x°.
∵AF平分外角∠BAD，
∴∠BAF＝12∠BAD＝12(90°＋x°)．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝12∠ABC＝12x°.
∴∠E＝∠BAF－∠ABE＝12(90°＋x°)－12x°＝45°.
03 综合题
17．图中的两个图形是五角星和它的变形．
(1)如图1是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；
(2)图1中的点A向下移到BE上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？证明你的结论．
解：(1)证明：∵∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D，
∠1＋∠2＋∠A＝180°，
∴∠C＋∠E＋∠B＋∠D＋∠A＝180°.
(2)无变化．∵∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D，∠1＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠C＋∠E＋∠B＋∠D＋∠CAD＝180°. |