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02 中档题
8．如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△DEF的条件是( B )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 习题解析
9．如图，点E是BC边上一点，AB⊥BC于点B，CD⊥CB于点C，AB＝CB，∠A＝∠CBD，AE与BD交于点O.下列结论：①AE＝BD；②AE⊥BD；③BE＝CD；④△AOB的面积等于四边形CDOE的面积．其中正确的结论有( D )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
∵∠2＋∠E＝∠C＋∠3，且∠2＝∠3，
∴∠E＝∠C.
在△ABC和△ADE中，
∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∠C＝∠E，
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
11．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边的中线，过C点作CF垂直于AE，垂足为点F，过B点作BD垂直于BC，交CF的延长线于点D.
(1)求证：AE＝CD；
(2)若AC＝12 cm，求BD的长．
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°.
∵CF⊥AE，
∴∠BCD＋∠AEC＝90°.
∴∠CAE＝∠BCD.
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝∠ACE＝90°.
∵AC＝CB，
∴△ACE≌△CBD(ASA)．
∴AE＝CD.
(2)∵AE是BC边的中线，
∴CE＝BC2＝AC2＝122＝6(cm)．
∵△ACE≌△CBD，
∴BD＝CE＝6 cm.
03 综合题
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，垂足为点E，试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
解：BD＝2CE.
理由如下：延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE.
在△BCE和△BFE中，
∠CBE＝∠FBE，BE＝BE，∠BEC＝∠BEF＝90°，
∴△BCE≌△BFE(ASA)．
∴CE＝EF.
∵∠A＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF＋∠F＝90°，∠ABD＋∠F＝90°.
∴∠ABD＝∠ACF.
在△ABD和△ACF中，
∠ABD＝∠ACF，AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，
∴△ABD≌△ACF(ASA)．
∴BD＝CF.
∵CF＝CE＋EF＝2CE，
∴BD＝2CE. |